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Mensagem não lidapor **Babi123** » 09 Mar 2022, 23:49 · Mensagem não lida por **Babi123** » 09 Mar 2022, 23:49

Dado o [tex3]∆ABC[/tex3] , usando no máximo
3 vezes o compasso e 5 vezes a régua, construir:
Altura [tex3]AD[/tex3] ;
Bissetriz [tex3]AE[/tex3] ;
Mediana [tex3]AM[/tex3] ;

: FB_IMG_1646234020567.jpg (36.58 KiB) Exibido 993 vezes

Autor: Thanos Kalogerakis

11 Mar 2022, 08:38

A chance de eu resolver esse ai é zero. Seria bom ver a solução.

Mensagem não lidapor **leozitz** » 11 Mar 2022, 19:03 · Mensagem não lida por **leozitz** » 11 Mar 2022, 19:03

possivelmente tem 1 erro e está incompleto
obs: n sei se posso fazer como fiz para definir o ponto X.

: Captura de tela de 2022-03-11 15-38-06.png (49.45 KiB) Exibido 926 vezes

pega X tal que ABCX seja paralelogramo, para isso eu uso o compasso 2 vezes. AX é mediana.
trace BX e a circunferência [tex3]\omega[/tex3] centrada em B com raio BA, [tex3]Y = BX\cap \omega[/tex3]
então AY é bissetriz. por causa do triangulo isosceles e dos ângulos iguais q vieram do paralelogramo.
agora só posso usar a regua mais 2 vezes, seja [tex3]D\ne X[/tex3] tal que [tex3]D = \odot(B, BX) \cap \odot(C, CX)[/tex3]
[tex3]M = BC\cap AX[/tex3] [tex3]F = DX\cap \omega[/tex3]
ai eu acho q AF é altura mas n estou conseguindo provar

11 Mar 2022, 19:54

leozitz escreveu: ↑11 Mar 2022, 19:03 ai eu acho q AF é altura mas n estou conseguindo provar

[tex3]D[/tex3] e [tex3]X[/tex3] são simétricos em relação à reta [tex3]BC[/tex3] , pois [tex3]BC[/tex3] é mediatriz de [tex3]DX[/tex3] .

A prova que [tex3]MF= DM[/tex3] se faz por ponto fantasma: Seja [tex3]D'[/tex3] o simétrico de [tex3]D[/tex3] em relação a [tex3]M[/tex3] , então [tex3]DBD'C[/tex3] é paralelogramo, logo [tex3]D'B = DC = BA[/tex3] , então [tex3]D'[/tex3] está no círculo esquerdo e na semirreta [tex3]DM[/tex3] , logo, [tex3]D'=F[/tex3] . Pronto, [tex3]BC[/tex3] é mediatriz de [tex3]AF[/tex3] , então [tex3]AF[/tex3] é altura.

Mensagem não lidapor **leozitz** » 11 Mar 2022, 19:57 · Mensagem não lida por **leozitz** » 11 Mar 2022, 19:57

posso definir X daquela forma? pq quando eu pego os 2 círculos vou ter 2 intersecções e visualmente é fácil saber que a do paralelogramo é a q está do outro lado de BC em relação a A mas n parece muito preciso

11 Mar 2022, 19:59

leozitz, melhor definir [tex3]X[/tex3] como o reflexo de [tex3]A[/tex3] em relação ao ponto [tex3]M[/tex3] ; mas, pra construir é melhor do jeito que você fez pra aproveitar os círculos.

11 Mar 2022, 20:00

leozitz, [tex3]D[/tex3] poderia ser definido como o reflexo de [tex3]B[/tex3] em relação ao ponto médio de [tex3]AC[/tex3]

Mensagem não lidapor **Babi123** » 12 Mar 2022, 01:03 · Mensagem não lida por **Babi123** » 12 Mar 2022, 01:03

Uma solução feita por Ichung Chen:

( 1 ) compass 1 - center C , radius AC, circle 1
( 2 ) compass 2 - center B , radius AC, circle 2
( 3 ) compass 3 - center B , radius BA, circle 3
( 4 ) ruler 1 - connect LF, intersects BC at M
( 5 ) ruler 2 - connect AH, intersects BC at D
( 6 ) ruler 3 - connect AM, intersects circle 2 at I
( 7 ) ruler 4 - connect BI, intersects circle 3 at K
( 8 ) ruler 5 - connect AK, intersects BC at E

: IMG-20220308-WA0040.jpg (28.35 KiB) Exibido 901 vezes

12 Mar 2022, 16:14

leozitz, se você se importa com a ordem das construções, você pode simplesmente dizer que [tex3]X[/tex3] é o encontro dos dois círculos que se encontra no semiplano de [tex3]BC[/tex3] que não contém [tex3]A[/tex3] . Como [tex3]BC[/tex3] é o segmento que une os centros, então naturalmente os pontos de encontro dos círculos ficam em semiplanos opostos de [tex3]BC[/tex3] .

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