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Mensagem não lidapor **Babi123** » 09 Fev 2022, 20:37 · Mensagem não lida por **Babi123** » 09 Fev 2022, 20:37

[tex3]H[/tex3] é o ortocentro do [tex3]∆ABC[/tex3]
[tex3]DE[/tex3] encontra [tex3]AB[/tex3] em [tex3]F[/tex3]
[tex3]CF[/tex3] intersecta o circuncírculo do [tex3]∆ABC[/tex3] em [tex3]P[/tex3] .
Prove que: [tex3]\angle HPC=90^{\circ}[/tex3]

: CYMERA_20220209_202825.jpg (68.49 KiB) Exibido 1003 vezes

Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , então [tex3]ABDE[/tex3] está no círculo [tex3]\gamma_A = \odot (M,MA)[/tex3] .

[tex3]\gamma_B = (CDEH)[/tex3] e [tex3]\gamma_C = (ABC)[/tex3] .

O eixo radical entre [tex3]\gamma_C[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3] é [tex3]AB[/tex3] .
O eixo radical entre [tex3]\gamma_B[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3] é [tex3]DE[/tex3] .

Logo, [tex3]F[/tex3] é centro radical de [tex3]\gamma_A, \gamma_B[/tex3] e [tex3]\gamma_C[/tex3] .

Como [tex3]C \in \gamma_B \cap \gamma_C[/tex3] , então a reta [tex3]CF[/tex3] é eixo radical de [tex3]\gamma_C[/tex3] e [tex3]\gamma_B[/tex3] , logo [tex3]P \in \gamma_C \implies P \in \gamma_B[/tex3] . Pronto, como [tex3]PCDEH[/tex3] é cíclico, então [tex3]\angle CPH = \angle CDH = 90^{\circ}[/tex3]

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