Ensino Superior ⇒ Hipérboles Tópico resolvido

[DudaS]

Uma reta que passa por um ponto P de uma hipérbole e é paralela à assíntota mais próxima intercepta a diretriz mais próxima em Q. Se F é o foco correspondente, mostre que PQ=PF.

[παθμ]

DudaS, seja [tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/tex3]

a equação da hipérbole. Para [tex3]x, \; y \rightarrow \infty[/tex3]

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[tex3]x, \; y \rightarrow \infty[/tex3]

temos [tex3]\frac{x^2}{a^2} \approx \frac{y^2}{b^2} \Longrightarrow y=\frac{bx}{a}.[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{a^2} \approx \frac{y^2}{b^2} \Longrightarrow y=\frac{bx}{a}.[/tex3]

Essa é a equação da assíndota do primeiro quadrante, por exemplo.

A equação da reta citada (chame-a de r) é então [tex3]y=\frac{bx}{a}+n.[/tex3]

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[tex3]y=\frac{bx}{a}+n.[/tex3]

Sendo [tex3]y=y_P[/tex3]

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[tex3]y=y_P[/tex3]

para [tex3]x=x_P[/tex3]

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[tex3]x=x_P[/tex3]

obtemos que a equação da reta r é [tex3]y=\frac{b(x-x_P)}{a}+y_P.[/tex3]

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[tex3]y=\frac{b(x-x_P)}{a}+y_P.[/tex3]

A diretriz é a reta vertical [tex3]x=\frac{a^2}{c}=x_Q,[/tex3]

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[tex3]x=\frac{a^2}{c}=x_Q,[/tex3]

daí usando a equação da reta r obtemos [tex3]y_P-y_Q=\frac{bx_P}{a}-\frac{ab}{c}.[/tex3]

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[tex3]y_P-y_Q=\frac{bx_P}{a}-\frac{ab}{c}.[/tex3]

[tex3]PQ^2=(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2=x_P^2-\frac{2x_P}{c}(a^2+b^2)+\frac{b^2 x_P^2}{a^2}+\frac{a^2}{c^2}(a^2+b^2).[/tex3]

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[tex3]PQ^2=(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2=x_P^2-\frac{2x_P}{c}(a^2+b^2)+\frac{b^2 x_P^2}{a^2}+\frac{a^2}{c^2}(a^2+b^2).[/tex3]

(1)

Usando [tex3]a^2+b^2=c^2[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2=c^2[/tex3]

nós simplificamos as parcelas 2 e 4 da equação (1). Além disso, [tex3]\frac{x_P^2}{a^2}-\frac{y_P^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{b^2 x_P^2}{a^2}=b^2+y_P^2,[/tex3]

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[tex3]\frac{x_P^2}{a^2}-\frac{y_P^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{b^2 x_P^2}{a^2}=b^2+y_P^2,[/tex3]

e nós substituímos isso na parcela 3 da equação (1):

[tex3]PQ^2=x_P^2-2cx_P+a^2+b^2+y_P^2=x_P^2-2cx_P+c^2+y_P^2=(x_P-c)^2+y_P^2 \Longrightarrow PQ=\sqrt{(x_P-c)^2+y_P^2}[/tex3]

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[tex3]PQ^2=x_P^2-2cx_P+a^2+b^2+y_P^2=x_P^2-2cx_P+c^2+y_P^2=(x_P-c)^2+y_P^2 \Longrightarrow PQ=\sqrt{(x_P-c)^2+y_P^2}[/tex3]

E nós sabemos que [tex3]x_F=c, \; \; y_F=0.[/tex3]

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[tex3]x_F=c, \; \; y_F=0.[/tex3]

Então [tex3]PF=\sqrt{(x_P-c)^2+y_P^2}=PQ,[/tex3]

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[tex3]PF=\sqrt{(x_P-c)^2+y_P^2}=PQ,[/tex3]

C.Q.D