São dados os inteiros positivos [tex3]d[/tex3] e [tex3]m[/tex3]. Prove que existem inteiros [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] satisfazendo [tex3](x, y)=d[/tex3] e [tex3]xy=m[/tex3] se, e somente se, [tex3]d^2\mid m[/tex3].
Eu consegui provar a ida, mas a volta não sei como faz, alguém me ajuda?
Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
Jan 2024
27
11:31
Teoria dos Números
Editado pela última vez por Idocrase em 27 Jan 2024, 11:32, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Jan 2024
27
11:47
Re: Teoria dos Números
a volta é o mais fácil, como vc não conseguiu?
Se [tex3]\mdc(x,y) =d [/tex3] , então [tex3]x = dx'[/tex3] e [tex3]y=dy'[/tex3] , logo, [tex3]m = xy = d^2x'y' \implies d^2 \vert m[/tex3]
Se [tex3]\mdc(x,y) =d [/tex3] , então [tex3]x = dx'[/tex3] e [tex3]y=dy'[/tex3] , logo, [tex3]m = xy = d^2x'y' \implies d^2 \vert m[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jan 2024
27
12:04
Re: Teoria dos Números
Quis dizer a volta, ou seja, se [tex3]d^2\mid m[/tex3] , então [tex3](x,y)=d[/tex3] e [tex3]xy=m[/tex3] ?FelipeMartin escreveu: ↑27 Jan 2024, 11:47 a volta é o mais fácil, como vc não conseguiu?
Se [tex3]\mdc(x,y) =d [/tex3] , então [tex3]x = dx'[/tex3] e [tex3]y=dy'[/tex3] , logo, [tex3]m = xy = d^2x'y' \implies d^2 \vert m[/tex3]
Jan 2024
27
12:27
Re: Teoria dos Números
Tentei assim,
Suponha que [tex3]d^2\mid m[/tex3] .
Como [tex3]d^2\mid m[/tex3] , então [tex3]d\mid \tiny{\frac{m}{d}}[/tex3] .
Daí, [tex3](x,y)=\left ( d,\frac{m}{d} \right )=d[/tex3] .
Portanto, [tex3]xy=d\cdot\frac{m}{d}=m[/tex3] tem solução.
Suponha que [tex3]d^2\mid m[/tex3] .
Como [tex3]d^2\mid m[/tex3] , então [tex3]d\mid \tiny{\frac{m}{d}}[/tex3] .
Daí, [tex3](x,y)=\left ( d,\frac{m}{d} \right )=d[/tex3] .
Portanto, [tex3]xy=d\cdot\frac{m}{d}=m[/tex3] tem solução.
Editado pela última vez por Idocrase em 27 Jan 2024, 12:28, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Jan 2024
27
15:21
Re: Teoria dos Números
Idocrase, essa é a ida: Se [tex3]d^2 \vert m[/tex3]
, então existem...
sua prova está correta. Funcionou direitinho, você mostrou um [tex3]x[/tex3] e um [tex3]y[/tex3] que resolvem o problema.
sua prova está correta. Funcionou direitinho, você mostrou um [tex3]x[/tex3] e um [tex3]y[/tex3] que resolvem o problema.
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