Ensino Médio ⇒ Demonstração em círculos secantes Tópico resolvido
-
geobson
- Mensagens: 3857
- Registrado em: 02 Jun 2013, 20:01
- Última visita: 09-06-24
- Agradeceu: 54 vezes
- Agradeceram: 65 vezes
Jun 2023
04
13:47
Demonstração em círculos secantes
Na figura , mostre que AB= AC.
- Anexos
-
- IMG_0527.jpeg (29.04 KiB) Exibido 237 vezes
-
FelipeMartin
- Mensagens: 2267
- Registrado em: 04 Jul 2020, 10:47
- Última visita: 09-06-24
- Agradeceu: 29 vezes
- Agradeceram: 27 vezes
Jun 2023
05
09:10
Re: Demonstração em círculos secantes
[tex3]X[/tex3]
é o centro do círculo amarelo,
[tex3]Y[/tex3] é o centro do círculo azul.
Olhemos para o [tex3]\triangle FDE[/tex3] : Seu circuncírculo é [tex3]c_3[/tex3] . Como [tex3]XF=XD[/tex3] , sabemos que [tex3]X[/tex3] é ponto médio do arco [tex3]\widehat{FD}[/tex3] em [tex3]c_3[/tex3] . Seja [tex3]I[/tex3] o incentro do [tex3]\triangle FDE[/tex3] , sabemos que [tex3]XD=XF=XI[/tex3] (usando o teorema que eu demonstrei pro petras aqui). Analogamente, sabemos que [tex3]YF=YE=YI[/tex3] , ou seja, [tex3]I = c_1 \cap c_2 \neq F \implies I = A[/tex3] .
Então,[tex3]X,A[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são colineares bem como [tex3]Y,A[/tex3] e [tex3]D[/tex3] também o são.
Além disso, [tex3]\angle DFA = \angle EFA \implies \widehat{DA} = \widehat{EA} \implies \angle ABD = \angle ACE \implies \\ \implies \boxed{\angle ABC = \angle ACB \implies AB=AC}[/tex3]
Parece que esses dois são iguais a [tex3]AF[/tex3] , consequência direta do fato de [tex3]DA[/tex3] ser bissetriz do [tex3]\angle EDF[/tex3] .
[tex3]Y[/tex3] é o centro do círculo azul.
Olhemos para o [tex3]\triangle FDE[/tex3] : Seu circuncírculo é [tex3]c_3[/tex3] . Como [tex3]XF=XD[/tex3] , sabemos que [tex3]X[/tex3] é ponto médio do arco [tex3]\widehat{FD}[/tex3] em [tex3]c_3[/tex3] . Seja [tex3]I[/tex3] o incentro do [tex3]\triangle FDE[/tex3] , sabemos que [tex3]XD=XF=XI[/tex3] (usando o teorema que eu demonstrei pro petras aqui). Analogamente, sabemos que [tex3]YF=YE=YI[/tex3] , ou seja, [tex3]I = c_1 \cap c_2 \neq F \implies I = A[/tex3] .
Então,[tex3]X,A[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são colineares bem como [tex3]Y,A[/tex3] e [tex3]D[/tex3] também o são.
Além disso, [tex3]\angle DFA = \angle EFA \implies \widehat{DA} = \widehat{EA} \implies \angle ABD = \angle ACE \implies \\ \implies \boxed{\angle ABC = \angle ACB \implies AB=AC}[/tex3]
Parece que esses dois são iguais a [tex3]AF[/tex3] , consequência direta do fato de [tex3]DA[/tex3] ser bissetriz do [tex3]\angle EDF[/tex3] .
Editado pela última vez por FelipeMartin em 05 Jun 2023, 09:28, em um total de 4 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 18 Resp.
- 3359 Exibições
-
Últ. msg por geobson
-
- 2 Resp.
- 942 Exibições
-
Últ. msg por geobson
-
- 8 Resp.
- 7798 Exibições
-
Últ. msg por geobson
-
- 33 Resp.
- 12583 Exibições
-
Últ. msg por petras
-
- 15 Resp.
- 10496 Exibições
-
Últ. msg por FelipeMartin
