Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Babi123** » 31 Mai 2023, 22:49 · Mensagem não lida por **Babi123** » 31 Mai 2023, 22:49

Determine o valor de [tex3]\sum_{k=1}^n k\cdot 2^k[/tex3]

01 Jun 2023, 00:05

Babi123, você quer usar um teorema específico?

[tex3]f(x) = \sum_{k = 1}^n x^k \implies f'(x) = \sum_{k=1}^n k x^{k-1}[/tex3]

mas

[tex3]f(x) \cdot (x-1) = x^{n+1} - x \implies f(x) = \frac{x^{n+1}-x}{x-1}[/tex3]

[tex3]f'(x) = \frac{((n+1)x^n -1)(x-1) - (x^{n+1}-x)}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}[/tex3]

[tex3] \sum_{k=1}^n k x^{k-1} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}[/tex3]

para [tex3]x=2[/tex3] :

[tex3] \sum_{k=1}^n k 2^{k-1} = n2^{n+1} - (n+1)2^n + 1 = 2^{n}(n-1) + 1[/tex3]

multiplique os dois lados por [tex3]2[/tex3]

[tex3] \boxed{\sum_{k=1}^n k 2^{k} = 2^{n+1}(n-1) + 2}[/tex3]

para [tex3]n=1[/tex3] : [tex3]2 = 4\cdot 0 +2 = 2[/tex3]

para [tex3]n=2[/tex3] : [tex3]2 + 2 \cdot 4 = 10 = 8 + 2[/tex3]

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Teorema da somação

Re: Teorema da somação

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