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Mensagem não lidapor **Superaks** » 05 Dez 2017, 16:50 · Mensagem não lida por **Superaks** » 05 Dez 2017, 16:50

Uma sequência [tex3](p_1,p_2,...,p_n)[/tex3] de números primos satisfaz à seguinte condição para n ≥ 3, [tex3]p_n[/tex3] é o maior divisor primo de [tex3]p_{n-1}+p_{n-2}+2000[/tex3] . Mostre que a sequência [tex3](p_n)[/tex3] é limitada.

Mensagem não lidapor **leozitz** » 11 Mar 2023, 19:29 · Mensagem não lida por **leozitz** » 11 Mar 2023, 19:29

alguém tem uma ideia?

11 Mar 2023, 21:59

tradução daqui

Defina [tex3]P_n=\max(p_1,…,p_n)[/tex3] . Mostremos que [tex3]p_{n+1}≤P_n+2022[/tex3] .

Se [tex3]p_n=2[/tex3] ou [tex3]p_{n−1}=2[/tex3] , o resultado advirá do fato de que [tex3]p_{n+1}≤p_n+p_{n−1}+2020 \leq 2022 + p_n \leq 2022 + P_n[/tex3] . Se [tex3]p_n[/tex3] e [tex3]p_{n−1}[/tex3] forem ambos ímpares, então [tex3]p_n+p_{n−1}+2020[/tex3] será par, portanto, teremos [tex3]p_{n+1}≤\frac12(p_n+p_{n−1}+2020) < P_n+2022[/tex3] (note que isso também é verdade quando [tex3]p_n+p_{n−1}+2020[/tex3] é uma potência de [tex3]2[/tex3] ).

Então, para alcançar um primo grande [tex3]Q[/tex3] , primeiro devemos alcançar um primo no intervalo [tex3][Q,Q−2022][/tex3] . Porém, existem sequências arbitrariamente longas de números compostos arbitrariamente longos (por exemplo, [tex3]N!+2
, N!+3, ..., N!+N
[/tex3] nos dá [tex3]N-1[/tex3] números compostos consecutivos); logo, a sequência [tex3]p_n[/tex3] deve ser limitada.

Mensagem não lidapor **leozitz** » 12 Mar 2023, 09:37 · Mensagem não lida por **leozitz** » 12 Mar 2023, 09:37

vlwww FelipeMartin

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