Conclua de (a) que, se [tex3]\Delta\geq [/tex3]
0, as raízes de ax2 + bx + c são dadas pela fórmula
x=[tex3]\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}[/tex3]
Complemento: (a) diz: Verifique que ax2 + bx + c = a[[tex3]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta }{4a^{2}}[/tex3]
]
Ensino Superior ⇒ Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi Tópico resolvido
Dez 2022
12
07:40
Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi
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LostWalker
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Dez 2022
14
09:46
Re: Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi
Forma Canônica
Isso se trata da Forma Canônica da Equação de Segundo Grau, e parte do desenvolvimento para as equações usadas comumente:
[tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]f(x)=a\[x^2+\frac{bx}a+\frac ca\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[x^2+\frac{bx}a{\color{PineGreen}\,\,+\,\,\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}}+\frac ca\][/tex3]
Desse modo, temos um trinômio quadrado perfeito:
[tex3]f(x)=a\[{\color{Purple}x^2+\frac{bx}a+\frac{b^2}{4a^2}}~-~\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[{\color{Purple}\(x+\frac{b}{2a}\)^2}~-~\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\][/tex3]
Agora, deixamos os últimos fatores na mesma razão:
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca{\color{NavyBlue}\cdot\frac{4a}{4a}}\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)\][/tex3]
nota: tome cuidado com sinal nessa parte, por colocarmos tudo num fator negativo, os sinais mudam
Após isso, podemos ressaltar o Delta:
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\][/tex3]
nota: pela forma canônica, nós encontramos não apenas a equação das raízes como também a equação do vértice da função.
Encontrando a Equação das Raízes de Segundo Grau
Eu propositalmente deixei [tex3]f(x)[/tex3] , acontece que, para termos as raízes, queremos quando [tex3]f(x)=0[/tex3] , logo:
[tex3]0={\color{Red}\cancel{\color{Black}a}}\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\]~~~~~~\mbox{considerando que }a\neq0[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{b}{2a}\)^2=\frac{\Delta}{4a^2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt\frac{\Delta}{4a^2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}~~~~\mbox{C.Q.D.}}[/tex3]
Isso se trata da Forma Canônica da Equação de Segundo Grau, e parte do desenvolvimento para as equações usadas comumente:
[tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]f(x)=a\[x^2+\frac{bx}a+\frac ca\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[x^2+\frac{bx}a{\color{PineGreen}\,\,+\,\,\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}}+\frac ca\][/tex3]
Desse modo, temos um trinômio quadrado perfeito:
[tex3]f(x)=a\[{\color{Purple}x^2+\frac{bx}a+\frac{b^2}{4a^2}}~-~\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[{\color{Purple}\(x+\frac{b}{2a}\)^2}~-~\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca\][/tex3]
Agora, deixamos os últimos fatores na mesma razão:
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca{\color{NavyBlue}\cdot\frac{4a}{4a}}\][/tex3]
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)\][/tex3]
nota: tome cuidado com sinal nessa parte, por colocarmos tudo num fator negativo, os sinais mudam
Após isso, podemos ressaltar o Delta:
[tex3]f(x)=a\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\][/tex3]
nota: pela forma canônica, nós encontramos não apenas a equação das raízes como também a equação do vértice da função.
Encontrando a Equação das Raízes de Segundo Grau
Eu propositalmente deixei [tex3]f(x)[/tex3] , acontece que, para termos as raízes, queremos quando [tex3]f(x)=0[/tex3] , logo:
[tex3]0={\color{Red}\cancel{\color{Black}a}}\[\(x+\frac{b}{2a}\)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\]~~~~~~\mbox{considerando que }a\neq0[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{b}{2a}\)^2=\frac{\Delta}{4a^2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt\frac{\Delta}{4a^2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a}[/tex3]
[tex3]x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt\Delta}{2a}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}~~~~\mbox{C.Q.D.}}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 14 Dez 2022, 09:48, em um total de 1 vez.
Razão: adição de comentário
Razão: adição de comentário
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Dez 2022
14
12:43
Re: Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi
LostWalker Valeu demais! Quais dicas você me dá para desenvolver esse pensamento matemático e conseguir resolver esses problemas sozinho? (eu comecei a estudar há três dias por conta própria, esperando a faculdade começar)
-
LostWalker
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Dez 2022
20
08:37
Re: Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi
ickol, certo dia eu escrevi uma resposta, mas não terminei e não postei, mas de todo modo, essa questão em si não é fácil no sentido de você solucionar sozinho, mas felizmente, é uma daquelas coisas que você aprende uma vez e não esquece. Eu, por exemplo, vi esse desenvolvimento pela primeira vez há 5 ou 6 anos.
Nesse caso, há três de você resolver, ou (1) você é uma pessoa muito criativa. E aqui, tudo bem não ser criativo, é difícil pensar algo fora da caixinha sempre, o que mais vale é cogitar que sempre pode haver uma forma diferente de resolver algo inesperado e continuar tentando. (2) O livros/questões te induzem a utilizar algum método, seja por uma dica ou por uma progressão nas questões ou (3) adquire experiência lidando com diferentes modos de solucionar questões, como gênios são poucos, esse costuma ser a principal forma de lidar com questões do tipo, isso me lembra como eu fiquei surpreso a primeira vez que vi essa questão, sinceramente, eu nunca pensaria em algo do tipo sozinho.
Eu sempre me proponho a tentar resolver utilizando o que sei, claro que nem sempre vou saber o necessário ou encontrar um meio de resolver (mesmo que baseado em algum assunto que eu já estudei), mas relaxe, para mim, foque sempre no (2) e (3), para a maioria dos exercícios, todas as informações são úteis, então pensar num meio que utilize todas elas costuma ser o mais provável. No mais, quando possível, sempre dê, pelo menos, uma olhada em diferentes desenvolvimentos para o mesmo assunto, eles auxiliam em uma experiência para outras questões.
Nesse caso, há três de você resolver, ou (1) você é uma pessoa muito criativa. E aqui, tudo bem não ser criativo, é difícil pensar algo fora da caixinha sempre, o que mais vale é cogitar que sempre pode haver uma forma diferente de resolver algo inesperado e continuar tentando. (2) O livros/questões te induzem a utilizar algum método, seja por uma dica ou por uma progressão nas questões ou (3) adquire experiência lidando com diferentes modos de solucionar questões, como gênios são poucos, esse costuma ser a principal forma de lidar com questões do tipo, isso me lembra como eu fiquei surpreso a primeira vez que vi essa questão, sinceramente, eu nunca pensaria em algo do tipo sozinho.
Eu sempre me proponho a tentar resolver utilizando o que sei, claro que nem sempre vou saber o necessário ou encontrar um meio de resolver (mesmo que baseado em algum assunto que eu já estudei), mas relaxe, para mim, foque sempre no (2) e (3), para a maioria dos exercícios, todas as informações são úteis, então pensar num meio que utilize todas elas costuma ser o mais provável. No mais, quando possível, sempre dê, pelo menos, uma olhada em diferentes desenvolvimentos para o mesmo assunto, eles auxiliam em uma experiência para outras questões.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Dez 2022
20
08:51
Re: Um Curso de Cálculo Vol. 1 - Guidorizzi
LostWalker Muito obrigado pelas dicas! Fico mais tranquilo sabendo que a prática é o caminho, e não preciso ter um talento inato para entender a Matemática.
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