- Um [tex3]\triangle ABC[/tex3]
- Um círculo [tex3]c_1[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3]
Objetivo: Construir o círculo [tex3]c_2[/tex3] que seja tangente a [tex3]c_1[/tex3] exteriormente e aos lados [tex3]BA[/tex3] e [tex3]BC[/tex3]
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- [tex3]X,Y[/tex3] e [tex3]T[/tex3] os pontos de contato de [tex3]c_2[/tex3] com [tex3]BC,AB[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] respectivamente.
- [tex3]c_3 = (XTC)[/tex3] e [tex3]c_4 = (YTA)[/tex3]
- [tex3]M = c_3 \cap c_4 \neq T[/tex3]
- [tex3]D = AM \cap c_3 \neq M[/tex3] e [tex3]E = CM \cap c_4 \neq M[/tex3]
1-) Então [tex3]DXY[/tex3] são colineares.
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Analogamente, [tex3]EXY[/tex3] são colineares. Logo [tex3]EXYD[/tex3] estão sobre uma mesma reta.
2-) [tex3]EDCA[/tex3] é cíclico.
prova: Sendo [tex3]t_T[/tex3] a reta tangente a [tex3]c_1[/tex3] em [tex3]T[/tex3] , tem-se:
[tex3]\angle EAT = \angle TYX = \angle (XT, t_T)[/tex3] e [tex3]\angle TAC = \angle ( CT, t_T)[/tex3] de forma que:
[tex3]\angle XTC = \angle (CT,t_T) + \angle (XT,t_T) = \angle EAT + \angle TAC = \angle EAC = 180^{\circ} - \angle XDC [/tex3]
logo: [tex3]\angle EAC + \angle EDC = 180^{\circ}[/tex3] , portanto [tex3]EDCA[/tex3] é cíclico (este é o teorema dos 5 círculos de Lebesgue).
3-) [tex3]M[/tex3] é incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3].
prova: [tex3]\angle CAD = \angle CED = \angle MEY = \angle MAY = \angle DAB[/tex3] , logo [tex3]AM[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3] . Analogamente, [tex3]CM[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle BCA[/tex3] , de forma que [tex3]M = I[/tex3] é o incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] . Está provado então que [tex3]c_3[/tex3] e [tex3]c_4[/tex3] sempre passam pelo incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
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prova: [tex3]\angle (AT,TI) = \angle IEA = \angle CEA = \angle CDA = \angle (CT,TI)[/tex3]
de forma que a reta [tex3]TI[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle ATC[/tex3] .
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