Só falta fazer as contas, eis o que fiz
Sejam [tex3]AB=r_1, CF=r_2,\frac{DF}{2}=r_3[/tex3]
o raio pedido, [tex3]r_4[/tex3]
.
Pelo Teorema de Descartes,
[tex3]2\(\frac{1}{r_1^2}+\frac1{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Facilmente podemos obter as relações
[tex3]r_1+r_2=a\\
r_2+r_3=\frac a2\\
r_3+r_1=\frac{\sqrt5a}{2}[/tex3]
Daí, dá para achar esses raios em termos de a, e usando a equação do começo,
[tex3]2\(\frac{(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2}{(r_1r_2r_3)^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Agora é só (muita) conta
Dias de luta, dias de glória.