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Ensino Médio ⇒ Círculo tangente - raio Tópico resolvido
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Babi123
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Ago 2020
05
10:03
Círculo tangente - raio
[tex3]\#ABCD[/tex3]
é um retângulo, com [tex3]AB < BC[/tex3]
. Os quartos de círculos de centro em [tex3]B[/tex3]
e raio [tex3]BA[/tex3]
, centro em [tex3]C[/tex3]
e raio [tex3]CE[/tex3]
e o semicírculo [tex3]DGF[/tex3]
são tangentes nos pontos [tex3]E,F,G[/tex3]
. Determinar o raio do círculo vermelho em termos de [tex3]AD=a[/tex3]
.
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Deleted User 24633
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Ago 2020
05
11:50
Re: Círculo tangente - raio
Meu hint:
Seja [tex3]b=AB=BE=CD[/tex3]
então [tex3]EC=FC=a-b~(1)[/tex3]
e logo [tex3]DF=DC-FC=2b-a[/tex3]
assim [tex3]DO=OF=OG=\frac{DF}2=b-\frac{a}2~(2).[/tex3]
Então [tex3]OC=OF+FC=\frac{a}2[/tex3] e [tex3]OB=BG+OG=2b-\frac{a}2.[/tex3]
Por outro lado, aplicando Pitágoras em [tex3]BCO[/tex3] temos [tex3]BO=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] então [tex3]2b-\frac{a}2=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] e logo [tex3]b=\dfrac{a}4(1+\sqrt{5}).[/tex3]
Substituindo em nas expressões [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3] obtemos, respectivamente, que o raio do quarto de círculo de centro [tex3]C[/tex3] é [tex3]a-b=\frac{a}4(3-\sqrt{5})[/tex3] e que o raio do semicírculo é [tex3]b-\frac{a}2=\frac{a}4(-1+\sqrt{5}).[/tex3]
Se [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo vermelho então
[tex3]\boxed{BM=\frac{a}4(1+\sqrt{5})+r;~~~MO=\frac{a}4(-1+\sqrt{5})+r;~~~MC=\frac{a}4(3-\sqrt{5})+r}[/tex3]
Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador (claro que dá para sair na brutalidade por meio de Heron ou analítica mas acho muito trabalhoso)
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Então [tex3]OC=OF+FC=\frac{a}2[/tex3] e [tex3]OB=BG+OG=2b-\frac{a}2.[/tex3]
Por outro lado, aplicando Pitágoras em [tex3]BCO[/tex3] temos [tex3]BO=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] então [tex3]2b-\frac{a}2=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] e logo [tex3]b=\dfrac{a}4(1+\sqrt{5}).[/tex3]
Substituindo em nas expressões [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3] obtemos, respectivamente, que o raio do quarto de círculo de centro [tex3]C[/tex3] é [tex3]a-b=\frac{a}4(3-\sqrt{5})[/tex3] e que o raio do semicírculo é [tex3]b-\frac{a}2=\frac{a}4(-1+\sqrt{5}).[/tex3]
Se [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo vermelho então
[tex3]\boxed{BM=\frac{a}4(1+\sqrt{5})+r;~~~MO=\frac{a}4(-1+\sqrt{5})+r;~~~MC=\frac{a}4(3-\sqrt{5})+r}[/tex3]
Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador (claro que dá para sair na brutalidade por meio de Heron ou analítica mas acho muito trabalhoso)
Editado pela última vez por Deleted User 24633 em 05 Ago 2020, 11:56, em um total de 3 vezes.
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Babi123
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Ago 2020
05
12:05
Re: Círculo tangente - raio
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Tassandro
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Ago 2020
05
12:09
Re: Círculo tangente - raio
Só falta fazer as contas, eis o que fiz
Sejam [tex3]AB=r_1, CF=r_2,\frac{DF}{2}=r_3[/tex3] o raio pedido, [tex3]r_4[/tex3] .
Pelo Teorema de Descartes,
[tex3]2\(\frac{1}{r_1^2}+\frac1{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Facilmente podemos obter as relações
[tex3]r_1+r_2=a\\
r_2+r_3=\frac a2\\
r_3+r_1=\frac{\sqrt5a}{2}[/tex3]
Daí, dá para achar esses raios em termos de a, e usando a equação do começo,
[tex3]2\(\frac{(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2}{(r_1r_2r_3)^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Agora é só (muita) conta
Sejam [tex3]AB=r_1, CF=r_2,\frac{DF}{2}=r_3[/tex3] o raio pedido, [tex3]r_4[/tex3] .
Pelo Teorema de Descartes,
[tex3]2\(\frac{1}{r_1^2}+\frac1{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Facilmente podemos obter as relações
[tex3]r_1+r_2=a\\
r_2+r_3=\frac a2\\
r_3+r_1=\frac{\sqrt5a}{2}[/tex3]
Daí, dá para achar esses raios em termos de a, e usando a equação do começo,
[tex3]2\(\frac{(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2}{(r_1r_2r_3)^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Agora é só (muita) conta
Dias de luta, dias de glória.
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Babi123
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FelipeMartin
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Ago 2020
05
12:19
Re: Círculo tangente - raio
o círculo pedido chama-se círculo de Soddy interno do triângulo [tex3]\triangle OBC[/tex3]
.
https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
Seu raio é dado pela equação de descartes:
[tex3]r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3 + 2\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}}[/tex3]
onde [tex3]r_1 = b[/tex3] , [tex3]r_2 = a-b[/tex3] e [tex3]r_3 = b- \frac a2[/tex3] .
a soma: [tex3]r_1 + r_2 + r_3 = b + \frac a2[/tex3]
[tex3]r_1r_2r_3 = b(a-b)(b-\frac a2)[/tex3]
[tex3]r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3= b(a-b) + b(b-\frac a2)+(a-b)(b-\frac a2)=2ab - b^2 - \frac{a^2}2[/tex3] .
A raíz quadrada ali embaixo fica:
[tex3]r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3) = b(a-b)(b-\frac a2)(b + \frac a2)[/tex3]
mas teria que jogar o [tex3]b = a\frac{1+\sqrt5}4[/tex3] ai em cima.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2F2%29%29
[tex3]r = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{ 2ab - b^2 - \frac{a^2}2+ \frac{a^2}2} = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{b(2a-b)}[/tex3]
[tex3]r = \frac{(a-b)(b-\frac a2)}{2a-b} [/tex3]
resolvendo tudo:
[tex3]\boxed{r = \frac{a}{44}(5\sqrt5-9)}[/tex3]
https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
Seu raio é dado pela equação de descartes:
[tex3]r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3 + 2\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}}[/tex3]
onde [tex3]r_1 = b[/tex3] , [tex3]r_2 = a-b[/tex3] e [tex3]r_3 = b- \frac a2[/tex3] .
a soma: [tex3]r_1 + r_2 + r_3 = b + \frac a2[/tex3]
[tex3]r_1r_2r_3 = b(a-b)(b-\frac a2)[/tex3]
[tex3]r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3= b(a-b) + b(b-\frac a2)+(a-b)(b-\frac a2)=2ab - b^2 - \frac{a^2}2[/tex3] .
A raíz quadrada ali embaixo fica:
[tex3]r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3) = b(a-b)(b-\frac a2)(b + \frac a2)[/tex3]
mas teria que jogar o [tex3]b = a\frac{1+\sqrt5}4[/tex3] ai em cima.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2F2%29%29
[tex3]r = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{ 2ab - b^2 - \frac{a^2}2+ \frac{a^2}2} = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{b(2a-b)}[/tex3]
[tex3]r = \frac{(a-b)(b-\frac a2)}{2a-b} [/tex3]
resolvendo tudo:
[tex3]\boxed{r = \frac{a}{44}(5\sqrt5-9)}[/tex3]
Editado pela última vez por FelipeMartin em 05 Ago 2020, 12:29, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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