Ensino MédioCírculo tangente - raio Tópico resolvido

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Babi123
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Ago 2020 05 10:03

Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por Babi123 »

[tex3]\#ABCD[/tex3] é um retângulo, com [tex3]AB < BC[/tex3] . Os quartos de círculos de centro em [tex3]B[/tex3] e raio [tex3]BA[/tex3] , centro em [tex3]C[/tex3] e raio [tex3]CE[/tex3] e o semicírculo [tex3]DGF[/tex3] são tangentes nos pontos [tex3]E,F,G[/tex3] . Determinar o raio do círculo vermelho em termos de [tex3]AD=a[/tex3] .
116295139_1641161882731824_3167653402743220302_o.jpg
116295139_1641161882731824_3167653402743220302_o.jpg (16.19 KiB) Exibido 1641 vezes

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Deleted User 24633
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Ago 2020 05 11:50

Re: Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Meu hint:
116295139_1641161882731824_3167653402743220302_o.jpg.png
116295139_1641161882731824_3167653402743220302_o.jpg.png (32.89 KiB) Exibido 1616 vezes
Seja [tex3]b=AB=BE=CD[/tex3] então [tex3]EC=FC=a-b~(1)[/tex3] e logo [tex3]DF=DC-FC=2b-a[/tex3] assim [tex3]DO=OF=OG=\frac{DF}2=b-\frac{a}2~(2).[/tex3]
Então [tex3]OC=OF+FC=\frac{a}2[/tex3] e [tex3]OB=BG+OG=2b-\frac{a}2.[/tex3]

Por outro lado, aplicando Pitágoras em [tex3]BCO[/tex3] temos [tex3]BO=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] então [tex3]2b-\frac{a}2=\frac{a\sqrt{5}}2[/tex3] e logo [tex3]b=\dfrac{a}4(1+\sqrt{5}).[/tex3]

Substituindo em nas expressões [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3] obtemos, respectivamente, que o raio do quarto de círculo de centro [tex3]C[/tex3] é [tex3]a-b=\frac{a}4(3-\sqrt{5})[/tex3] e que o raio do semicírculo é [tex3]b-\frac{a}2=\frac{a}4(-1+\sqrt{5}).[/tex3]

Se [tex3]r[/tex3] é o raio do círculo vermelho então
[tex3]\boxed{BM=\frac{a}4(1+\sqrt{5})+r;~~~MO=\frac{a}4(-1+\sqrt{5})+r;~~~MC=\frac{a}4(3-\sqrt{5})+r}[/tex3]



Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador (claro que dá para sair na brutalidade por meio de Heron ou analítica mas acho muito trabalhoso)

Editado pela última vez por Deleted User 24633 em 05 Ago 2020, 11:56, em um total de 3 vezes.
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Babi123
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Re: Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por Babi123 »

pedro1729 escreveu: 05 Ago 2020, 11:50 Talvez alguém consiga desenvolver mais que eu a partir de um insight ou de um lema salvador
Encontrei!!!
O magodaplana colocou o teorema que trata desses casos: viewtopic.php?f=2&t=83718
:D :)
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Tassandro
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Ago 2020 05 12:09

Re: Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por Tassandro »

Só falta fazer as contas, eis o que fiz
Sejam [tex3]AB=r_1, CF=r_2,\frac{DF}{2}=r_3[/tex3] o raio pedido, [tex3]r_4[/tex3] .
Pelo Teorema de Descartes,
[tex3]2\(\frac{1}{r_1^2}+\frac1{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Facilmente podemos obter as relações
[tex3]r_1+r_2=a\\
r_2+r_3=\frac a2\\
r_3+r_1=\frac{\sqrt5a}{2}[/tex3]
Daí, dá para achar esses raios em termos de a, e usando a equação do começo,
[tex3]2\(\frac{(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2}{(r_1r_2r_3)^2}+\frac{1}{r_4^2}\)=\(\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}+\frac{1}{r_4}\)^2[/tex3]
Agora é só (muita) conta :lol:
Dias de luta, dias de glória.
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Babi123
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Re: Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por Babi123 »

Tassandro escreveu: 05 Ago 2020, 12:09 Agora é só (muita) conta
:D :) :)
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FelipeMartin
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Re: Círculo tangente - raio

Mensagem não lida por FelipeMartin »

o círculo pedido chama-se círculo de Soddy interno do triângulo [tex3]\triangle OBC[/tex3] .
https://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html

Seu raio é dado pela equação de descartes:
[tex3]r = \frac{r_1r_2r_3}{r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3 + 2\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}}[/tex3]
onde [tex3]r_1 = b[/tex3] , [tex3]r_2 = a-b[/tex3] e [tex3]r_3 = b- \frac a2[/tex3] .
a soma: [tex3]r_1 + r_2 + r_3 = b + \frac a2[/tex3]
[tex3]r_1r_2r_3 = b(a-b)(b-\frac a2)[/tex3]
[tex3]r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3= b(a-b) + b(b-\frac a2)+(a-b)(b-\frac a2)=2ab - b^2 - \frac{a^2}2[/tex3] .
A raíz quadrada ali embaixo fica:
[tex3]r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3) = b(a-b)(b-\frac a2)(b + \frac a2)[/tex3]
mas teria que jogar o [tex3]b = a\frac{1+\sqrt5}4[/tex3] ai em cima.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... %2F2%29%29
[tex3]r = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{ 2ab - b^2 - \frac{a^2}2+ \frac{a^2}2} = \frac{b(a-b)(b-\frac a2)}{b(2a-b)}[/tex3]
[tex3]r = \frac{(a-b)(b-\frac a2)}{2a-b} [/tex3]
resolvendo tudo:

[tex3]\boxed{r = \frac{a}{44}(5\sqrt5-9)}[/tex3]

Editado pela última vez por FelipeMartin em 05 Ago 2020, 12:29, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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