IME / ITA ⇒ Complexos e binômios Tópico resolvido

[Estudante369]

[tex3]a = C_n^0 - C_n^2 + C_n^4 - C_n^6 + ... , [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = C_n^0 - C_n^2 + C_n^4 - C_n^6 + ... , [/tex3]

[tex3]b = C_n^1 - C_n^3 + C_n^5 - C_n^7 + ...,[/tex3]

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[tex3]b = C_n^1 - C_n^3 + C_n^5 - C_n^7 + ...,[/tex3]

prove que [tex3]a^2 + b^2 = 2^n,[/tex3]

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[tex3]a^2 + b^2 = 2^n,[/tex3]

a partir de [tex3](1+i)^n.[/tex3]

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[tex3](1+i)^n.[/tex3]

Qual a ideia para provar isso?

[NigrumCibum]

Sabe-se que [tex3]z=(1+i)^n=2^{\frac{n}{2}}(\cos(\frac{n\pi}{4})+i×sin(\frac{n\pi}{4}))[/tex3]

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[tex3]z=(1+i)^n=2^{\frac{n}{2}}(\cos(\frac{n\pi}{4})+i×sin(\frac{n\pi}{4}))[/tex3]

e pela expansão do binômio de Newton [tex3](1+i)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\dots⇒(1+i)^n=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots+i(\binom{n}{1}-\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots).[/tex3]

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[tex3](1+i)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\dots⇒(1+i)^n=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots+i(\binom{n}{1}-\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots).[/tex3]

Deste modo: [tex3]a=Re(z)=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots=2^{\frac{n}{2}}\cos(\frac{n\pi}{4})[/tex3]

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[tex3]a=Re(z)=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\dots=2^{\frac{n}{2}}\cos(\frac{n\pi}{4})[/tex3]

e [tex3]b=Im(z)=\binom{n}{1}-\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots=2^{\frac{n}{2}}sin(\frac{n\pi}{4}).[/tex3]

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[tex3]b=Im(z)=\binom{n}{1}-\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\dots=2^{\frac{n}{2}}sin(\frac{n\pi}{4}).[/tex3]

Portanto [tex3]a^2+b^2=2^n[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2=2^n[/tex3]