IME / ITA ⇒ (IME - 1968) Binômio de Newton

[HEITORSONIC]

Seja n um número inteiro positivo, tal que os coeficientes dos quinto,sexto e sétimo termos, em relação a x ,do desenvolvimento de

[tex3]\(\frac{log_n(\sqrt{2^n})}{log_e(n).log_n(\sqrt{2^e)}}+x\)^n[/tex3]

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[tex3]\(\frac{log_n(\sqrt{2^n})}{log_e(n).log_n(\sqrt{2^e)}}+x\)^n[/tex3]

segundo as potencias decrescentes de x,estão em progressão aritmetica.Determinar n.

[Agash]

Mostra o que vc tentou fazer = ]

[Tassandro]

HEITORSONIC,
Vamos dar uma simplificada no primeiro termo
[tex3]\frac{\log_n(\sqrt2)^n}{\log_n(\sqrt2)^e}=\frac ne,\log_en=\frac{1}{log_n e}[/tex3]

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[tex3]\frac{\log_n(\sqrt2)^n}{\log_n(\sqrt2)^e}=\frac ne,\log_en=\frac{1}{log_n e}[/tex3]

Logo, a expressão inicial equivale a
[tex3]\(\frac{n\log_n e}{e}+x\)^n[/tex3]

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[tex3]\(\frac{n\log_n e}{e}+x\)^n[/tex3]

Como ele está falando do quinto, sexto e sétimo termo, podemos afirmar que [tex3]n\geq6[/tex3]

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[tex3]n\geq6[/tex3]

Agora, usando o binômio de Newton e as informações do enunciado, podemos fazer que
[tex3]2\binom{n}{5}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^5=\binom{n}{4}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^4+\binom{n}{6}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^6[/tex3]

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[tex3]2\binom{n}{5}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^5=\binom{n}{4}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^4+\binom{n}{6}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^6[/tex3]

Simplificando essa monstruosidade, vem que
[tex3]2n(n-4)\log_ne=1+\frac{n^2(n-4)(n-5)\log_ne}{3e}[/tex3]

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[tex3]2n(n-4)\log_ne=1+\frac{n^2(n-4)(n-5)\log_ne}{3e}[/tex3]

Mais ainda
[tex3]n^2(n-4)(n-5)\log_ne-6n(n-4)e\log_ne+3e=0[/tex3]

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[tex3]n^2(n-4)(n-5)\log_ne-6n(n-4)e\log_ne+3e=0[/tex3]

Ainda não pensei em como resolver essa maravilha, mas se alguém puder completar a partir daí seria show de bola!

[Deleted User 23699]

Eu achei essa questão no Rufino VOL3 mas não encontrei ela no livro do Sérgio Lima Neto (compilado das provas de Matemática do IME).
Não sei se a questão postada veio do livro do Rufino (lançou em 2010): se for, não tenho certeza quanto aos expoentes nos 2. No livro não dá para identificar se está dentro ou fora da raíz...

Além disso, enquanto pesquisava, vi as outras questões do vestibular dessa época. O Cálculo era bruto

Eu acho que na prova, deixaria em função de uma variável (ex.: e^x = n)

[ProfLaplace]

Fala pessoal! Achei um erro no enunciado do IME. O correto seria:
[tex3]\left(\frac{\log_n (\sqrt{2})^{n}}{\frac{n}{e}\cdot\log_n (\sqrt{2})^{e}}+x\right)^{n}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{\log_n (\sqrt{2})^{n}}{\frac{n}{e}\cdot\log_n (\sqrt{2})^{e}}+x\right)^{n}[/tex3]

Com isso, toda aquela fração com [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

vai ser simplificada para 1.
Ou seja, trata-se do binômio de Newton [tex3](1+x)^{n}[/tex3]

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[tex3](1+x)^{n}[/tex3]

.
Como ele quer que organizemos segundo as potências decrescentes de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

, usaremos [tex3](x+1)^{n}[/tex3]

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[tex3](x+1)^{n}[/tex3]

.
A conta vai ficar beeem melhor agora haha!
Teremos simplesmente [tex3]2\binom{n}{5}=\binom{n}{4}+\binom{n}{6}[/tex3]

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[tex3]2\binom{n}{5}=\binom{n}{4}+\binom{n}{6}[/tex3]

.
Manipulando essa equação, chega-se em [tex3]n^{2}-21n+98=0[/tex3]

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[tex3]n^{2}-21n+98=0[/tex3]

, cujas soluções são [tex3]n=7[/tex3]

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[tex3]n=7[/tex3]

e [tex3]n=14[/tex3]

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[tex3]n=14[/tex3]