Ensino Superior ⇒ Cálculo Vetorial - Ângulo entre dois Vetores Tópico resolvido

[Gabrieljmr]

Dados os pontos A=(0,0,0), B=(0,−20,5) e C=(0,20,5), se θ é o ângulo entre os vetores AB−→− e AC−→−, obtenha um valor aproximado para cosθ.


a. -0,71
b. -0,62
c. -0,53
d. -0,79
e. -0,88

[baltuilhe]

Boa noite!

Montando os vetores:
[tex3]\vec{AB}=B-A=(0,-20,5)-(0,0,0)=(0,-20,5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AB}=B-A=(0,-20,5)-(0,0,0)=(0,-20,5)[/tex3]

[tex3]\vec{AC}=C-A=(0,20,5)-(0,0,0)=(0,20,5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{AC}=C-A=(0,20,5)-(0,0,0)=(0,20,5)[/tex3]

Para calcular o que se pede:
[tex3]\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(0,-20,5)\cdot(0,20,5)=0.0+(-20).20+5.5=-400+25=-375[/tex3]

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[tex3]\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(0,-20,5)\cdot(0,20,5)=0.0+(-20).20+5.5=-400+25=-375[/tex3]

[tex3]\|\vec{AB}\|=\sqrt{0^2+20^2+5^2}=\sqrt{0+400+25}=\sqrt{425}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\|\vec{AB}\|=\sqrt{0^2+20^2+5^2}=\sqrt{0+400+25}=\sqrt{425}[/tex3]

[tex3]\|\vec{AC}\|=\sqrt{0^2+20^2+5^2}=\sqrt{0+400+25}=\sqrt{425}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\|\vec{AC}\|=\sqrt{0^2+20^2+5^2}=\sqrt{0+400+25}=\sqrt{425}[/tex3]

Então:
[tex3]\cos\theta=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|\|\vec{AC}\|}=\dfrac{-375}{\sqrt{425}\,\sqrt{425}}[/tex3]

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[tex3]\cos\theta=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|\|\vec{AC}\|}=\dfrac{-375}{\sqrt{425}\,\sqrt{425}}[/tex3]

[tex3]\cos\theta=\dfrac{-375}{425}\approx -0,88[/tex3]

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[tex3]\cos\theta=\dfrac{-375}{425}\approx -0,88[/tex3]

Espero ter ajudado!