Ensino Médio ⇒ Contagem Tópico resolvido

[goncalves3718]

Quantos são os números de cinco dígitos que são múltiplos de [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

e possuem [tex3]6 [/tex3]

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[tex3]6 [/tex3]

como um de seus dígitos

[Tassandro]

goncalves3718,
Perceba que dado um número de 4 algarismos sem um dígito 6, há três maneiras de se adicionar um outro algarismo diferente de 6 a fim de se tornar esse número um múltiplo de 3.
Sendo assim, a quantidade de números de 4 algarismos sem um dígito 6 é
[tex3]8×9×9×9×=5832[/tex3]

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[tex3]8×9×9×9×=5832[/tex3]

Multiplicando por 3:
[tex3]5832×3=17496[/tex3]

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[tex3]5832×3=17496[/tex3]

Então, essa é a quantidade de números de 5 algarismos que é divisível por 3 e não possui um dígito 6.
Logo, basta calcularmos a quantidade de números de 5 algarismos divisíveis por 3.
Isso pode ser feito através de uma PA:
[tex3]a_1=10002,a_n=99999,r=3\\
99999=10002+(n-1)3\implies n=30000[/tex3]

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[tex3]a_1=10002,a_n=99999,r=3\\
99999=10002+(n-1)3\implies n=30000[/tex3]

Assim, nossa resposta será
[tex3]30000-17496=\boxed{12504}[/tex3]

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[tex3]30000-17496=\boxed{12504}[/tex3]

Essa foi minha tentativa.

[goncalves3718]

Porque multiplicou por 3?

[Tassandro]

dado um número de 4 algarismos sem um dígito 6, há três maneiras de se adicionar um outro algarismo diferente de 6 a fim de tornar esse múltiplo de 3.

goncalves3718,
Por causa desse fato.
Vou prová-lo para você:
A soma dos algarismos desses números será sempre um número de 1 dessas 3 formas:
[tex3]3k,3k+1,3k+2,k\in\mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]3k,3k+1,3k+2,k\in\mathbb{N}[/tex3]

Se for da primeira forma,para esse número ser um múltiplo de 3(sem adicionar um dígito 6), basta adicionar ao seu final um algarismo 0,3 ou 9.
Se for da segunda, um 2 ou um 5 ou um 8.
Se for da terceira, um 1 ou um 4 ou um 7.
Espero que tenha compreendido.