- 20190830_063617.jpg (16.29 KiB) Exibido 3111 vezes
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
Resposta
A
Olimpíadas ⇒ "Aritmética, operação com os naturais" Tópico resolvido
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MedeirosU
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Ago 2019
30
07:41
"Aritmética, operação com os naturais"
(OBMEP) Na figura, cada um dos 4 segmentos contém três círculos. Os círculos devem ser numerados de 1 a 9, de modo que a soma dos números nos três círculos de cada segmento seja igual para todos os segmentos. Qual é o menor número que pode ser escrito no círculo cinza?
(A) 1.
(B) 2.
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A
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A
Editado pela última vez por MedeirosU em 30 Ago 2019, 07:42, em um total de 1 vez.
Acreditar é metade da batalha.
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LostWalker
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Ago 2019
30
10:18
Re: "Aritmética, operação com os naturais"
Achei esse divertido, então vou montar aqui. Eu usei um pouco de Hipótese, e misturei com aritmética
A Primeira notação é que as contas serão algo como (Vou usar termos como se fosse na ordem da esquerda para direita):
[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{5}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{7}}[/tex3]
[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_1+a_2+{\color{Green}a_3}=S[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,{\color{Green}a_3}+a_4+{\color{Green}a_5}=S[/tex3]
[tex3]III\,\,{\color{Green}a_5}+a_6+{\color{Green}a_7}=S[/tex3]
[tex3]IV\,\,\,{\color{Green}a_7}+a_8+a_9=S[/tex3]
Os números Duplicados são os [tex3]{\color{Green}\mbox{verdes}}[/tex3] . Sendo o termo central o [tex3]{\color{Green}a_5}[/tex3] . Note que [tex3]I[/tex3] e [tex3]IV[/tex3] tem [tex3]1[/tex3] e [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3] tem [tex3]2[/tex3]
Vamos trabalhar usando Hipóteses
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1º Hipótese
Os números [tex3]1,2,3[/tex3] estão em ramos separados. Por serem os menores elementos, juntas os mesmo como criar um ramo de valor pequeno. Normalmente eu uso como Hipótese e nem testo, mas com propósito de explicar melhor, vou mostrar
[tex3]{\color{Green}1}+{\color{Green}2}+9=12[/tex3]
[tex3]8+{\color{Green}3}+{\color{Green}1}=12[/tex3]
[tex3]7+{\color{Green}3}+{\color{Green}2}=12[/tex3] Aqui dois números Duplicados aparecem pela terceira vez, o que é impossível
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2º Hipótese
O número [tex3]9[/tex3] estará no mesmo ramo do número [tex3]1[/tex3] . Visto que [tex3]9[/tex3] é a maior soma, ele provavelmente está acompanhando o [tex3]1[/tex3] que é a menor
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1º Afirmação
Se todos os ramos possuem mesmo valor, somar todos os termos será igual a um múltiplo de 4. Logo vamos descrever
[tex3]\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+a_3+a_5+a_7}{4}=\frac{45+a_3+a_5+a_7}{4}=11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3º Hipótese
Se [tex3]1[/tex3] e [tex3]9[/tex3] estão juntos, então eles mais um dos termos terá o mesmo resultado da afirmação acima, logo
[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=1+9+a_?[/tex3]
[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=10+a_?[/tex3]
[tex3]\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=a_?-1[/tex3]
[tex3]1+a_3+a_5+a_7=4a_?-4[/tex3]
[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
Por fim, vamos ir testando valores, sabendo que:
[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_?[/tex3] Não pode nem ser [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,a_?[/tex3] pode ser igual a [tex3]a_3,a_5\mbox{ ou }a_7[/tex3] desde que o valor não seja [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]III\,\,\,[/tex3] O menor valor de [tex3]a_3+a_5+a_7=1+2+3=6[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4º Hipótese
De [tex3]1,2 \mbox{ ou }3[/tex3] , apenas um deles pode estar pode estar como Duplicado para não ficar gerando médias muito baixas, pois isso causa o mesmo conflito da 1º Hipótese
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1º Tentativa
Vamos tentar claro usar o [tex3]1[/tex3] como [tex3]a_5[/tex3]
[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
Não dá para [tex3]8[/tex3] nem [tex3]12[/tex3] pelas Hipóteses anteriores. Tentando para [tex3]16[/tex3] :
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+4+6=4a_?[/tex3]
[tex3]a_?=4[/tex3]
Jogando os resultados que já temos como
[tex3]a_3=4\\a_4=9\\a_5=1\mbox{ Soma igual a 14}\\a_7=6[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Logo, possível solução, segundo a 1º Tentativa
[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{7}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6}[/tex3]
[tex3]\color{Blue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]
Pode ter parecido confuso ou longo, mas eu respondi a pergunta em 3 min, essas Hipóteses são bem manjadas, tendo ideia delas, não leva muito tempo na prática. Agora ter escrito esse post explicando cada uma... bom... isso demorou XD
A Primeira notação é que as contas serão algo como (Vou usar termos como se fosse na ordem da esquerda para direita):
[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{5}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{7}}[/tex3]
[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_1+a_2+{\color{Green}a_3}=S[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,{\color{Green}a_3}+a_4+{\color{Green}a_5}=S[/tex3]
[tex3]III\,\,{\color{Green}a_5}+a_6+{\color{Green}a_7}=S[/tex3]
[tex3]IV\,\,\,{\color{Green}a_7}+a_8+a_9=S[/tex3]
Os números Duplicados são os [tex3]{\color{Green}\mbox{verdes}}[/tex3] . Sendo o termo central o [tex3]{\color{Green}a_5}[/tex3] . Note que [tex3]I[/tex3] e [tex3]IV[/tex3] tem [tex3]1[/tex3] e [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3] tem [tex3]2[/tex3]
Vamos trabalhar usando Hipóteses
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1º Hipótese
Os números [tex3]1,2,3[/tex3] estão em ramos separados. Por serem os menores elementos, juntas os mesmo como criar um ramo de valor pequeno. Normalmente eu uso como Hipótese e nem testo, mas com propósito de explicar melhor, vou mostrar
[tex3]{\color{Green}1}+{\color{Green}2}+9=12[/tex3]
[tex3]8+{\color{Green}3}+{\color{Green}1}=12[/tex3]
[tex3]7+{\color{Green}3}+{\color{Green}2}=12[/tex3] Aqui dois números Duplicados aparecem pela terceira vez, o que é impossível
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2º Hipótese
O número [tex3]9[/tex3] estará no mesmo ramo do número [tex3]1[/tex3] . Visto que [tex3]9[/tex3] é a maior soma, ele provavelmente está acompanhando o [tex3]1[/tex3] que é a menor
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1º Afirmação
Se todos os ramos possuem mesmo valor, somar todos os termos será igual a um múltiplo de 4. Logo vamos descrever
[tex3]\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+a_3+a_5+a_7}{4}=\frac{45+a_3+a_5+a_7}{4}=11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}[/tex3]
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3º Hipótese
Se [tex3]1[/tex3] e [tex3]9[/tex3] estão juntos, então eles mais um dos termos terá o mesmo resultado da afirmação acima, logo
[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=1+9+a_?[/tex3]
[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=10+a_?[/tex3]
[tex3]\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=a_?-1[/tex3]
[tex3]1+a_3+a_5+a_7=4a_?-4[/tex3]
[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
Por fim, vamos ir testando valores, sabendo que:
[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_?[/tex3] Não pode nem ser [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,a_?[/tex3] pode ser igual a [tex3]a_3,a_5\mbox{ ou }a_7[/tex3] desde que o valor não seja [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]III\,\,\,[/tex3] O menor valor de [tex3]a_3+a_5+a_7=1+2+3=6[/tex3]
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4º Hipótese
De [tex3]1,2 \mbox{ ou }3[/tex3] , apenas um deles pode estar pode estar como Duplicado para não ficar gerando médias muito baixas, pois isso causa o mesmo conflito da 1º Hipótese
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1º Tentativa
Vamos tentar claro usar o [tex3]1[/tex3] como [tex3]a_5[/tex3]
[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
Não dá para [tex3]8[/tex3] nem [tex3]12[/tex3] pelas Hipóteses anteriores. Tentando para [tex3]16[/tex3] :
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+4+6=4a_?[/tex3]
[tex3]a_?=4[/tex3]
Jogando os resultados que já temos como
[tex3]a_3=4\\a_4=9\\a_5=1\mbox{ Soma igual a 14}\\a_7=6[/tex3]
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Logo, possível solução, segundo a 1º Tentativa
[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{7}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6}[/tex3]
[tex3]\color{Blue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]
Pode ter parecido confuso ou longo, mas eu respondi a pergunta em 3 min, essas Hipóteses são bem manjadas, tendo ideia delas, não leva muito tempo na prática. Agora ter escrito esse post explicando cada uma... bom... isso demorou XD
Editado pela última vez por LostWalker em 30 Ago 2019, 10:31, em um total de 3 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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