Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1982) Sistema linear + logaritmo Tópico resolvido

[Jhonatan]

O sistema linear

{x.log2 + y.log3 = a
{x.log4 + y.log9 = a

a) tem solução única se a = 0

b) tem infinitas soluções se a = 2

c) não tem solução se a = 3

d) tem infinitas soluções se a = 4

e) tem solução única se a = 9

Resposta

---

c)

Pessoal, eu ainda não estudei sistemas, mas não gostaria de deixar a questão para trás (só estudei log e sei aplicar a matéria). Porém, me recordo (pouca coisa) de sistemas. Há como resolver sem utilizar sistemas ? porque eu fui aplicando log e cheguei no seguinte:


{x.log2 + y.log3 = a
{x.log2 + y.log3 = (a/2)

daí, supus que a alternativa é c) pois a ≠ a/2 , ou seja, pra a = 3 --> 3 ≠ 3/2, ou melhor, para qualquer a≠0 o sistema seria impossível.
É assim que eu poderia justificar a questão ?

e, no meu raso entendimento de sistemas, como eu poderia justificar as alternativas erradas ?

obrigado

[csmarcelo]

Veja que o sistema te diz que [tex3]a=\frac{a}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{a}{2}[/tex3]

.

Para qualquer [tex3]a\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\neq0[/tex3]

, obviamente teremos uma falsidade e, portanto, o sistema é impossível.

Para [tex3]a=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=0[/tex3]

, o sistema se torna possível, no entanto, ainda assim, indeterminado, pois possuiria infinitas soluções.

De fato, a única alternativa que está de acordo com o que foi dito é a letra (c).

[Jhonatan]

Ah, perfeito, amigo. Muito obrigado.

Só uma dúvida: como informei, ainda não estudei sistemas. Então, para sabermos se vai ter uma única solução ou infinitas dependerá dos valores de x e y, e não de a, correto ?

se puder me esclarecer vou agradecer, pois log eu tô tranquilo, sistemas não

[csmarcelo]

Esse sistema nunca terá uma única soluçao. Ou não terá solução alguma ou terá infinitas soluções, e isso depende do valor de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

.

Se fizermos [tex3]a\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\neq0[/tex3]

, não importa os valores de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

: o sistema não tem solução. Afinal, como pode uma expressão ser igual a duas coisas distintas simultaneamente?

Se fizermos [tex3]a=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=0[/tex3]

, teremos infinitas soluções, afinal, se [tex3]x\log2+y\log3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\log2+y\log3=0[/tex3]

, basta [tex3]y=-x\log_32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=-x\log_32[/tex3]

para que a equação seja verdadeira.

[Jhonatan]

Excelente, amigo!! Novamente, muito obrigado pela ajuda.