Pré-Vestibular ⇒ UFG - GO : polinômio + progressão aritmética Tópico resolvido

[Jhonatan]

Os coeficientes do polinomio p(x) = ax^2 + bx + c formam uma progressão aritmética de razão 2, cujo primeiro termo é a, o segundo é b, o terceiro é c. Assim:

01. se a = 1, o polinomio é p(x) = x^2 + 3x + 6
02. se b = 0, as raízes do polinomio são iguais a 2 e -2
04. se o polinomio p(x) tem 1 como raiz, então a = -2
08. se -1 < a < 0, então p(x) possui duas raízes reais distintas

Determine as proposições corretas.

R: corretas 04 e 08

Amigos, como resolvo? Ainda não cheguei em polinômios.
Obrigado

Meu 01 deu p (x) = x^2 + 3x + 5, está certo ?
Meu 02 deu p (x) = ax^2 + a + 4. Não sei o que são as raízes do polinômio

[MatheusBorges]

01) [tex3]a=1\rightarrow b=3\rightarrow c=5\\
x^{2}+3x+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1\rightarrow b=3\rightarrow c=5\\
x^{2}+3x+5[/tex3]

02) [tex3]b=0\rightarrow a=-2\rightarrow c=2\\
-2x^{2}+2=0\\
-x^{2}+1=0\rightarrow x=0 \cup x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=0\rightarrow a=-2\rightarrow c=2\\
-2x^{2}+2=0\\
-x^{2}+1=0\rightarrow x=0 \cup x=1[/tex3]

03) Já respondida em 02).
04) [tex3]ax^{2}+(a+2).x+a+4=0\\
\Delta >0\rightarrow (a+2)^{2}-4.a.(a+4)>0\rightarrow -\frac{4}{\sqrt{3}}-2< a<\frac{4}{\sqrt{3}}-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^{2}+(a+2).x+a+4=0\\
\Delta >0\rightarrow (a+2)^{2}-4.a.(a+4)>0\rightarrow -\frac{4}{\sqrt{3}}-2< a<\frac{4}{\sqrt{3}}-2[/tex3]

O que engloba o intervalo que o examinador ofereceu.

[Jhonatan]

Amigo, obrigado. Porém, estou com dúvidas ainda. No 02 teremos duas raízes: -1 e +1, certo ?
No item 04 (que você respondeu como 03) não entendi. Desculpe as perguntas, é que ainda não estudei polinômios.
Como terminou o último cálculo do item 04 (que é o item 08) ?

[MatheusBorges]

Sim amigo, duas raízes no item dois, porém diferentes do que foi proposto pelo examinador.
No item 8 (que fiz como 4) não tem mais nenhum cálculo. Você precisa saber o que faz uma função quadrática ter duas raízes, e também como fazer a intersecção de intervalos, não tem nada haver com polinômios. É ideal que revise isso.