Seja ABCDEF um hexágono inscrito em uma circunferência de raio r. Mostre que se AB = CD = EF = r. Então os pontos médios de BC, DE, FA, são os vértices de um triângulo equilátero.
Questão retirada do livro Complexos e Polinômios do Caio Guimarães, não entendi a resolução que ele apresenta.
IME / ITA ⇒ (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos Tópico resolvido
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AugustoCRF
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Abr 2018
12
08:46
(PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos
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MatheusBorges
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Abr 2018
12
11:06
Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos
AugustoCRF, acho que não envolva complexo não. Se tu ligar [tex3]M_1[/tex3]
ao centro você terá o apótema da circunferência inscrita, veja que fazendo isso com [tex3]M_2[/tex3]
e [tex3]M_3[/tex3]
dividimos o [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3]
em 3 triângulos isósceles, por que o apótema de um triângulo é o raio da circunferência inscrita. Veja que o obtuso de cada triângulo é [tex3]120^{\circ}[/tex3]
(I), exemplo:
Sendo o o centro da circunferência, o ângulo [tex3]M_3OE\equiv 30^{\circ}[/tex3] pois [tex3]\overline{M_3O}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\overline{DE}[/tex3] fazendo analogia com o ângulo [tex3]M_2\hat OF[/tex3] e juntando com o Ângulo cêntrico que ele já te deu, que no caso é [tex3]a_6=\frac{360}{6}=60^{\circ}[/tex3] , provamos (I).
Agora veja sendo os lados dos três triângulos isósceles, o seus ângulos respectivos são [tex3]30^{\circ}[/tex3] , disso sai que [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3] é equilátero pois tem 3 ângulos congruentes!
Sendo o o centro da circunferência, o ângulo [tex3]M_3OE\equiv 30^{\circ}[/tex3] pois [tex3]\overline{M_3O}[/tex3] é perpendicular a [tex3]\overline{DE}[/tex3] fazendo analogia com o ângulo [tex3]M_2\hat OF[/tex3] e juntando com o Ângulo cêntrico que ele já te deu, que no caso é [tex3]a_6=\frac{360}{6}=60^{\circ}[/tex3] , provamos (I).
Agora veja sendo os lados dos três triângulos isósceles, o seus ângulos respectivos são [tex3]30^{\circ}[/tex3] , disso sai que [tex3]\triangle M_1M_2M_3[/tex3] é equilátero pois tem 3 ângulos congruentes!
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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MatheusBorges
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Abr 2018
12
11:22
Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos
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AugustoCRF
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Abr 2018
12
12:42
Re: (PUTNAM - 67 ) Geometria com Complexos
No capítulo que tinha essa questão ele resolvia problemas de geometria com números complexos, eu não tinha entendido a resolução dele, mas vendo a solução que você colocou eu consegui relacionar com as propriedades que ele passou. Obrigado
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