Ensino Médio ⇒ (FME) Inequação Quociente Tópico resolvido

[learning]

Olá,

como faço para resolver essa inequação a seguir:

A.174

[tex3]1/(x-1) + 2/(x-2) - 3/(x-3) < 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1/(x-1) + 2/(x-2) - 3/(x-3) < 0[/tex3]

A resposta dada pelo livro e já verificada por mim no wolfram alpha é:

Resposta

---

x < 1 ou 3/2 < x < 2 ou x >3

O que eu fiz foi tirar o mmc ficando com:

[tex3][(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) - 3 (x-1)(x-2)]\div (x-1)(x-2)(x-3) < 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) - 3 (x-1)(x-2)]\div (x-1)(x-2)(x-3) < 0[/tex3]

Fazendo o estudo do sinal das funções (link da imagem do meu caderno):

FF323BF4-A778-4574-9651-D41AA49459F3.jpeg (75.83 KiB) Exibido 1335 vezes

Gostaria de entender o raciocínio do desenvolvimento da questão para entender aonde estou errando.

Muito grato desde já.

[csmarcelo]

Você não pode aplicar o estudo de sinais entre parcelas. Se, por exemplo, [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

são positivos, [tex3]a+(-b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+(-b)[/tex3]

não possui um sinal absoluto.

[olgario]

Olá!
Considerando a inequação quociente:
[tex3]\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}<0[/tex3]

Encontrando o Minimo Múltiplo Comum temos:

[tex3]\;\;\;\;\;\;\frac{1}{x-1}\;\;\;\;\;\,+\,\;\;\;\;\;\;\frac{2}{x-2}\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{3}{x-3}\;\;\;<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\;\;\;\;\;\;\frac{1}{x-1}\;\;\;\;\;\,+\,\;\;\;\;\;\;\frac{2}{x-2}\;\;\;\;\;-\;\;\;\;\;\frac{3}{x-3}\;\;\;<0[/tex3]

[tex3](x-2)(x-3)\;\;\;\;(x-1)(x-3)\;\;\;\;(x-1)(x-2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)(x-3)\;\;\;\;(x-1)(x-3)\;\;\;\;(x-1)(x-2)[/tex3]

Aplicando o Minimo Múltiplo Comum ao numerador e denominador fica:

[tex3]\frac{1(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) -3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\;0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) -3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\;0[/tex3]

O denominador continua a ficar: [tex3](x-1)(x-2)(x-3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)(x-2)(x-3)[/tex3]

Fazendo as contas do numerador e fazendo as respectivas anulações,vamos chegar na seguinte inequação quociente:

[tex3]\frac{-4x+6}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\,0\,\Rightarrow-\frac{2(2x+3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\,0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-4x+6}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\,0\,\Rightarrow-\frac{2(2x+3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;<\,0[/tex3]

Ou, colocando a fração como positiva multiplicando ambos os termos da desigualdade por (-1) e invertendo o sinal e simplificando o numerador.
[tex3]\frac{2(2x+3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;>\;0\,\Rightarrow\frac{x-\frac{3}{2}}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;>0\;[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2(2x+3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;>\;0\,\Rightarrow\frac{x-\frac{3}{2}}{(x-1)(x-2)(x-3)}\;>0\;[/tex3]

*
Repare que:[tex3]\;-4x+6\Rightarrow-2(2x-3)\Rightarrow-2\(x-\frac{3}{2}\)\Rightarrow\frac{-{\cancel 2}(x-\frac{3}{2})}{\cancel 2}\Rightarrow\,-\(x-\frac{3}{2}\).\;\;[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\;-4x+6\Rightarrow-2(2x-3)\Rightarrow-2\(x-\frac{3}{2}\)\Rightarrow\frac{-{\cancel 2}(x-\frac{3}{2})}{\cancel 2}\Rightarrow\,-\(x-\frac{3}{2}\).\;\;[/tex3]

Como o sinal negativo que está fora do parenteses foi anulado ao se multiplicar a fração por (-1) para a tornar positiva, invertendo o sinal da mesma, o numerador fica apenas [tex3]\;x-\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\;x-\frac{3}{2}[/tex3]

E agora, é a partir desta ultima inequação quociente *, que fazemos a grelha para o estudo do sinal do numerador e denominador para achar os valores dos intervalos.

Espero ter ajudado.

[learning]

Agredeço muitíssimo!!!!

Um ótimo domingo de páscoa pra vcs )