Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Pontos notáveis no triângulo retângulo Tópico resolvido

[frederikatzen]

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20cm e um dos ângulos mede 20º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

Gabarito: a) AM= 10cm
b) 25º

[alevini98]

WhatsApp Image 2018-01-14 at 15.56.22.jpeg (51.91 KiB) Exibido 2595 vezes

Veja que a mediana CM sempre vai formar dois triângulos isósceles ACM e BCM em um triângulo retângulo. Nesse caso, CM mede 10 cm.

Sabendo que BCM é isósceles, então [tex3]B\widehat{C}M=20°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B\widehat{C}M=20°[/tex3]

, logo, para completar o ângulo da bissetriz, [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

será 25°.

[OBMarcos]

(a)
Todo triângulo retângulo inscrito numa circunferência tem como hipotenusa o diâmetro da mesma. Note então que o raio será metade da hipotenusa, logo [tex3]r=10cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=10cm[/tex3]

. Vejamos também que o centro da circunferência é a metade da hipotenusa, pois a distância em cada um dos vértices ( que pertencem à circunferência) é [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

. Assim, a distância do ponto médio da hipotenusa ( centro da circunferência ) até o ponto oposto à hipotenusa é [tex3]r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r[/tex3]

, portanto a mediana mede 10cm.
(b)
Eu não sei desenhar aqui, mas vamos lá:
Imagine ABC inscrito numa circunferência, com C o vértice do angulo reto e B = 20°,e tome D como centro da circunferencia. Note que 20° é o angulo do triângulo isosceles BDC, logo o ãngulo BCD vale 20°. A bissetriz do ângulo rate vale 45°, como já temos 20, para completar faltam 25°