Ensino Médio ⇒ Logaritmos Tópico resolvido

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Resolver a equação [tex3]\log_{}\sqrt{7x+5}+\log_{}\sqrt{2x+7}=1+\log_{}\frac{9}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{}\sqrt{7x+5}+\log_{}\sqrt{2x+7}=1+\log_{}\frac{9}{2}[/tex3]

[rippertoru]

[tex3]\log \(\sqrt{7x + 5}\) + \log \(\sqrt{2x + 7}\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(\sqrt{7x + 5}\) + \log \(\sqrt{2x + 7}\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(\(7x + 5\)^{\frac{1}{2}}\) + \log \(\(2x + 7\)^{\frac{1}{2}}\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(\(7x + 5\)^{\frac{1}{2}}\) + \log \(\(2x + 7\)^{\frac{1}{2}}\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\log \(7x + 5\) + \frac{1}{2}\log \(2x + 7\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}\log \(7x + 5\) + \frac{1}{2}\log \(2x + 7\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}\(\log \(7x + 5\) + \log \(2x + 7\)\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}\(\log \(7x + 5\) + \log \(2x + 7\)\) = 1 + \log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(7x + 5\) + \log \(2x + 7\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(7x + 5\) + \log \(2x + 7\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(\(7x + 5\)\times \(2x + 7\)\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(\(7x + 5\)\times \(2x + 7\)\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = 2 + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + 2\log \(\frac{9}{2}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + \log \(\frac{9^{2}}{2^{2}}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + \log \(\frac{9^{2}}{2^{2}}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + \log \(\frac{81}{4}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(100\) + \log \(\frac{81}{4}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(\frac{81\times 100}{4}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(\frac{81\times 100}{4}\)[/tex3]

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(81\times 25\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log \(14x^{2} + 49x + 10x + 35\) = \log \(81\times 25\)[/tex3]

---------------------------------------------------------------------------

[tex3]14x^{2} + 49x + 10x + 35 = 2025[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]14x^{2} + 49x + 10x + 35 = 2025[/tex3]

[tex3]14x^{2} + 59x + 35 = 2025[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]14x^{2} + 59x + 35 = 2025[/tex3]

[tex3]14x^{2} + 59x -1990 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]14x^{2} + 59x -1990 = 0[/tex3]

Cujas raízes são:

[tex3]x = \frac{-59 \pm \sqrt{59^{2} - 4\times 14\times \(-1990\)}}{2\times 14}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{-59 \pm \sqrt{59^{2} - 4\times 14\times \(-1990\)}}{2\times 14}[/tex3]

[tex3]x = \frac{-59 \pm \sqrt{114921}}{28}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{-59 \pm \sqrt{114921}}{28}[/tex3]

[tex3]x = \frac{-59 \pm 339}{28}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \frac{-59 \pm 339}{28}[/tex3]

----------------------------------------------------

[tex3]x' = \frac{-59 + 339}{28} = 10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x' = \frac{-59 + 339}{28} = 10[/tex3]

[tex3]x'' = \frac{-59 - 339}{28} = \frac{-398}{28} = -14,21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x'' = \frac{-59 - 339}{28} = \frac{-398}{28} = -14,21[/tex3]

[Xandinhuu]

[tex3]log\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x+7}=1+log\frac{9}{2} \\
log\sqrt{(7x+5)(2x+7)}-log\frac{9}{2}=1 \\
log\frac{2\sqrt{(7x+5)(2x+7)}}{9}=1 \\
\sqrt{(7x+5)(2x+7)}=45 \\
(7x+5)(2x+7)=2025 \\
14x²+59x-1990=0 \\
\Delta = 114.921 \\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x+7}=1+log\frac{9}{2} \\
log\sqrt{(7x+5)(2x+7)}-log\frac{9}{2}=1 \\
log\frac{2\sqrt{(7x+5)(2x+7)}}{9}=1 \\
\sqrt{(7x+5)(2x+7)}=45 \\
(7x+5)(2x+7)=2025 \\
14x²+59x-1990=0 \\
\Delta = 114.921 \\[/tex3]

[tex3]x'= 10 \\
x'' = \frac{-199}{14}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x'= 10 \\
x'' = \frac{-199}{14}[/tex3]

com todo o respeito com o amigo de cima, acho que é isso, se eu apliquei as propriedades corretamente... o x' "parece que foi feito pra dar certo!" como diz um professor meu rs.

[rodBR]

Amigos, apenas uma ressalva: a condição de existência dos logaritmos deste problema é [tex3]x > -\frac{5}{7}[/tex3] e das raízes: [tex3]x=-\frac{199}{14} \ \ \ \ \ \ \ e \ \ \ \ \ x=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{199}{14} \ \ \ \ \ \ \ e \ \ \ \ \ x=10[/tex3]

, apenas [tex3]x=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=10[/tex3]

satisfaz a condição de existência.

Portanto, o conjunto solução da equação é [tex3]S=[/tex3] { 10 }

Abraços..