com a e b diferentes de Kpi/2 e k inteiro.
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resposta: 08
Ensino Médio ⇒ EUA) Determine valor mínimo da expressão Tópico resolvido
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anatercia
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Mai 2017
13
17:21
EUA) Determine valor mínimo da expressão
EUA) Determine valor mínimo da expressão sec4(a)/ tg2(b) + sec4(b)/tg2(a):
com a e b diferentes de Kpi/2 e k inteiro.
resposta: 08
com a e b diferentes de Kpi/2 e k inteiro.
resposta: 08
Editado pela última vez por anatercia em 13 Mai 2017, 17:21, em um total de 2 vezes.
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undefinied3
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Mai 2017
13
18:20
Re: EUA) Determine valor mínimo da expressão
A expressão é positiva, assim vale a desigualdade das médias:
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2\sqrt{\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}}[/tex3]
Agora veja:
[tex3]\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}=\frac{\frac{1}{cos^4(a)cos^4(b)}}{\frac{sen^2(a)sen^2(b)}{cos^2(a)cos^2(b)}}=\frac{1}{sen^2(a)cos^2(a)sen^2(b)cos^2(b)}=\frac{16}{sen^2(2a)sen^2(2b)}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2.\frac{4}{|sen(2a)sen(2b)|}[/tex3]
Mas o lado esquerdo é claramente positivo, então o módulo só convem o resultado positivo
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq \frac{8}{sen(2a)sen(2b)}[/tex3]
Pra minimizar o lado direito, basta tomar [tex3]2a=2b=\frac{\pi}{2} \rightarrow a=b=\frac{\pi}{4}[/tex3] de maneira que [tex3]\frac{8}{sen(2a)sen(2b)}=8[/tex3]
De fato, é um valor possível para o lado esquerdo, basta substituir a e b:
[tex3]\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}+\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}=\frac{4}{1}+\frac{4}{1}=8[/tex3]
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2\sqrt{\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}}[/tex3]
Agora veja:
[tex3]\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}=\frac{\frac{1}{cos^4(a)cos^4(b)}}{\frac{sen^2(a)sen^2(b)}{cos^2(a)cos^2(b)}}=\frac{1}{sen^2(a)cos^2(a)sen^2(b)cos^2(b)}=\frac{16}{sen^2(2a)sen^2(2b)}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2.\frac{4}{|sen(2a)sen(2b)|}[/tex3]
Mas o lado esquerdo é claramente positivo, então o módulo só convem o resultado positivo
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq \frac{8}{sen(2a)sen(2b)}[/tex3]
Pra minimizar o lado direito, basta tomar [tex3]2a=2b=\frac{\pi}{2} \rightarrow a=b=\frac{\pi}{4}[/tex3] de maneira que [tex3]\frac{8}{sen(2a)sen(2b)}=8[/tex3]
De fato, é um valor possível para o lado esquerdo, basta substituir a e b:
[tex3]\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}+\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}=\frac{4}{1}+\frac{4}{1}=8[/tex3]
Editado pela última vez por undefinied3 em 13 Mai 2017, 18:20, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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