Olimpíadas ⇒ (Alemanha-2000) Equação modular e quadrática

[cicero444]

Determine os números reais x tais que:
|||||||[tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

|-3|-5|-7|-9|-11|-13|=[tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

-2x-48.

[Loexdramorama]

Oi, tudo bem?
Pelos meus cálculos... só um x real satisfaz [tex3]x=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{785}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{785}[/tex3]

.
As outras raízes são complexas.
A resposta está certa? Se estiver vou falar como fiz.
Abraço

[csmarcelo]

Olá, Loex. Aparentemente, sua resposta está correta. Como fez?

[Loexdramorama]

Olá, Loex. Aparentemente, sua resposta está correta. Como fez?

Oi Csmarcelo tudo bem?
Estou esperando o cicero444 colocar o gabarito antes de falar como eu fiz.
Resolvi com um pequeno cálculo de no máximo 5 linhas.
Mas usei o que aprendi no ensino médio mesmo. Nada de faculdade.
Tbm não fiquei jogando na sorte até encontrar a resposta.
Abraço

[cicero444]

A única solução real para o problema é: [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

= [tex3]\frac{3-\sqrt{785}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3-\sqrt{785}}{4}[/tex3]

< -6.

[Loexdramorama]

Oi! Então vou dizer o que fiz...

A conta que eu fiz é pequena mas primeiro eu tenho que explicar o que porque fiz...

Primeiro
Eu resolvi sem usar muito os módulos. Se eu fosse abrir todos os módulos daria muita conta e levaria muito tempo.
Primeiro vou explicar o que eu fiz na minha cabeça e depois vou mostrar qual o cálculo OK?

Primeiro vou explicar...
Se vc tem uma equação do tipo [tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

para encontrar as raízes duplas x=1 (ou qq outra equação que não seja tão fácil) a pessoa faz bhaskara ou faz fatoração. Mas veja uma coisa.
[tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

[tex3]x^{2}=2x-1[/tex3]

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[tex3]x^{2}=2x-1[/tex3]

[tex3]x^{2}=y=2x-1[/tex3]

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[tex3]x^{2}=y=2x-1[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
y=x^{2} \\
y=2x-1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=x^{2} \\
y=2x-1
\end{cases}[/tex3]

Fazer isto funciona, não sou eu que estou dizendo, há demonstrações disso.
Ou seja... esta interseção nos dá as raízes da equação [tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x+1=0[/tex3]

.
Parece bobeira pq quando vc vai resolver vc volta na equação e não nos leva a lugar nenhum. VERDADE, mas... se usado para manipular uma equação faz toda a diferença.

Voltando a questão...

Vamos escrever do jeito que eu escrevi acima...
[tex3]\begin{cases}
y=|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13| \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13| \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

Vamos analisar o que acontece com a primeira equação...
O que acontece quando colocamos o módulo numa equação? Os valores dos y passam todos a ser positivos. A representação gráfica muda... a parte negativa dobra para cima do eixo do x. Então vamos ver de dentro para fora o que acontece com [tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

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[tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

...
[tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

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[tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

sua representação gráfica é de uma parábola com concavidade voltada para cima, e uma parte de seus y's são negativos
[tex3]|x^{2}-x-1|[/tex3]

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[tex3]|x^{2}-x-1|[/tex3]

a parte em que os y's são negativos se dobram para cima do eixo x
[tex3]|x^{2}-x-1|-3[/tex3]

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[tex3]|x^{2}-x-1|-3[/tex3]

agora desce 3
[tex3]||x^{2}-x-1|-3|[/tex3]

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[tex3]||x^{2}-x-1|-3|[/tex3]

dobra novamente
[tex3]||x^{2}-x-1|-3|-5[/tex3]

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[tex3]||x^{2}-x-1|-3|-5[/tex3]

agora desce 5
.
.
.
[tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

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[tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

dobra novamente
Notou o q acontece? Não preciso fazer todos os cálculos. Eu sei que ela desce 3, 5, 7, 9, 11 e depois 13. Somando tudo isto ela desce "48".
Não é estranho? Descer 48 quando a outra equação é [tex3]x^{2}-2x-48[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x-48[/tex3]

? Isto ajuda a analisar as duas equações.
Estude um pouco o que acontece com os termos a, b e c de uma equação polinomial do segundo grau. Vai ficar muito grande esta explicação e vc pode encontrar na internet.

Depois destas análises (não precisa ficar fazendo contas, é só prestar atenção e vai perceber).
Analise as duas equações [tex3]x^{2}-x-1-48[/tex3]

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[tex3]x^{2}-x-1-48[/tex3]

e [tex3]x^{2}-2x-48[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x-48[/tex3]

. Vai perceber q elas se tocam apenas em um ponto. Então haverá apenas uma raiz real. As outras raízes serão imaginárias.

A raiz que procuramos não pode estar neste sistema
[tex3]\begin{cases}
y=x^{2}-x-1-48 \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=x^{2}-x-1-48 \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

pq elas se tocam na parte negativa dos y's, e como há módulos em [tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

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[tex3]|||||||x^{2}-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|[/tex3]

elas TEM q se tocar na parte positiva dos y's.

AGORA SIM, VAMOS CALCULAR!!!
Vamos dobrar o gráfico da primeira equação com o módulo e vai ficar assim...
[tex3]\begin{cases}
y=|x^{2}-x-1-48| \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
y=|x^{2}-x-1-48| \\
y=x^{2}-2x-48
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo este sistema...

[tex3]|x^{2}-x-1-48|=x^{2}-2x-48[/tex3]

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[tex3]|x^{2}-x-1-48|=x^{2}-2x-48[/tex3]

Temos duas equações
[tex3]x^{2}-x-49=x^{2}-2x-48[/tex3]

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[tex3]x^{2}-x-49=x^{2}-2x-48[/tex3]

[tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]x=1[/tex3]

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[tex3]x=1[/tex3]

e
[tex3]-x^{2}+x+49=x^{2}-2x-48 \rightarrow x=\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

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[tex3]-x^{2}+x+49=x^{2}-2x-48 \rightarrow x=\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

Agora você encontrou [tex3]x1=1[/tex3]

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[tex3]x1=1[/tex3]

, [tex3]x2=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

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[tex3]x2=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

e [tex3]x3=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

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[tex3]x3=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

como supostas raízes.
Se vc fez um gráfico das duas equações [tex3]|x^{2}-x-1-48|=0[/tex3]

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[tex3]|x^{2}-x-1-48|=0[/tex3]

e [tex3]x^{2}-2x-48=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-2x-48=0[/tex3]

vai perceber que a única resposta é [tex3]\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{785}}{4}[/tex3]

. Mas se quiser substituir e resolver fique a vontade.

Abraço