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A área S, do problema, é [tex3]S = a\cdot a \Rightarrow a^2 = S[/tex3]
As coordenadas dos pontos sobre o quadrado são: [tex3]D(0,\,0)[/tex3] , [tex3]A(0,\,a)[/tex3] , [tex3]F\(\frac{a}{2},\,a\)[/tex3] , [tex3]B(a,\,a)[/tex3] , [tex3]E\(a,\,\frac{a}{2}\)[/tex3] , [tex3]C(a,\,\,0)[/tex3]
Equação da reta que passa por D e E
[tex3]y - y_0 = m(x - x_0)[/tex3]
m = [tex3]\frac{y-y_0}{x-x_0} =[/tex3] [tex3]\ \frac{a/2 - 0}{a} = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0 ) \Rightarrow y = \frac{x}{2}\ (R1)[/tex3]
Equação da reta que passa por F e C
m = [tex3]\frac{y-y_0}{x-x_0} =[/tex3] [tex3]\ \frac{a - 0}{a - a/2} = \frac{-2a}{a} = -2[/tex3]
[tex3]y - a = -2\(x - \frac{a}{2}\) \Rightarrow y = 2a - 2x\ (R2)[/tex3]
Coordenadas do ponto G
[tex3]R1 = R2 \Rightarrow \frac{x}{2} = 2a - 2x \Rightarrow x = 4a - 4x \Rightarrow x = \frac{4a}{5}[/tex3]
[tex3]x\ -> R1\ \Rightarrow y = \frac{4a}{5}\cdot \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{2a}{5}[/tex3]
[tex3]G\(\frac{4a}{5},\,\frac{2a}{5}\)[/tex3]
Equação da reta que passa por D e F
m = [tex3]\frac{y-y_0}{x-x_0} =[/tex3] [tex3]\ \frac{a - 0}{a/2 - 0} = \frac{2a}{a} = 2[/tex3]
[tex3]y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - 0 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x\ (R3)[/tex3]
Equação da reta que passa por A e E
m = [tex3]\frac{y-y_0}{x-x_0} =[/tex3] [tex3]\ \frac{a/2 - a}{a - 0} = \frac{-a}{2a} = -\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]y - a = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow 2y - 2a = -x \Rightarrow y = a - \frac{x}{2}\ (R4)[/tex3]
Coordenadas do ponto H
[tex3]R3 = R4 \Rightarrow 2x = a - \frac{x}{2} \Rightarrow 4x = 2a - x \Rightarrow x = \frac{2a}{5}[/tex3]
[tex3]x\ -> R3\ \Rightarrow y = \frac{4a}{5}[/tex3]
[tex3]H\(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5}\)[/tex3]
Coordenadas do ponto Z
[tex3]R2 = R4 \Rightarrow 2a - 2x = a - \frac{x}{2} \Rightarrow 4a - 4x = 2a - x \Rightarrow x = \frac{2a}{3}[/tex3]
[tex3]x\ -> R2\ \Rightarrow y = \frac{2a}{3}[/tex3]
[tex3]Z\(\frac{2a}{3}, \frac{2a}{3}\)[/tex3]
[tex3]Distancia\ \overline{HZ}[/tex3]
[tex3]\overline {HZ} = \sqrt{\(\frac{2a}{3} - \frac{2a}{5}\)^2 + \(\frac{2a}{3} - \frac{4a}{5}\)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}[/tex3]
[tex3]Distancia\ \overline{DH}[/tex3]
[tex3]\overline {DH} = \sqrt{\(\frac{2a}{5} - 0\)^2 + \(\frac{4a}{5} - 0\)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}[/tex3]
Área do triangulo retangulo DHZ - A1
[tex3]A1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}[/tex3]
[tex3]Distancia\ \overline{ZG}[/tex3]
[tex3]\overline {ZG} = \sqrt{\(\frac{4a}{5} - \frac{2a}{3}\)^2 + \(\frac{2a}{5} - \frac{2a}{3}\)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}[/tex3]
[tex3]Distancia\ \overline{DG}[/tex3]
[tex3]\overline {DG} = \sqrt{\(\frac{4a}{5} - 0\)^2 + \(\frac{2a}{5} - 0\)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}[/tex3]
Área do triangulo retangulo DZG - A2
[tex3]A1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}[/tex3]
Área da superfície hachurada no original - Sh
[tex3]Sh = A1 + A2 = 2\cdot \frac{10S}{75} = \frac{20S}{75} = \frac{4S}{15}[/tex3]
Resposta: letra C
