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Mensagem não lidapor **vivianpibn** » 27 Mar 2007, 14:00 · Mensagem não lida por **vivianpibn** » 27 Mar 2007, 14:00

A equação do plano que passa pelos pontos (1,0,1) e (0,1,-1) e é paralelo ao segmento que une os pontos (1,2,1) e (0,1,0) é:

a) 3x-y-2z-1=0
b) x-3y+2z+1=0
c) 3x-y+2z-1=0
d) -5x+y+2z+3=0
e) 2x-3y+z-1=0

Please! Ajudem-me!

Mensagem não lidapor **marco_sx** » 29 Mar 2007, 15:36 · Mensagem não lida por **marco_sx** » 29 Mar 2007, 15:36

Olá vivianpibn

Bom eu nunca estudei pra valer geometria analítica no R3 (afinal não estou na faculdade ainda), mas o que eu sei é que basta você ter dois vetores diretores e um ponto pertencente ao plano que facilmente você chega na equação do mesmo.
Como ainda estou um pouco inseguro quanto à resposta gostaria que você passasse o gabarito da questão (caso você tenha) para que eu possa colocar a resolução, pode ser?

Até mais

Mensagem não lidapor **vivianpibn** » 30 Mar 2007, 11:34 · Mensagem não lida por **vivianpibn** » 30 Mar 2007, 11:34

Olá Marco

Infelizmente não possuo o gabarito da questão. Qualquer ajuda será bem-vinda!
Obrigada!

Vivian

Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 00:58 · Mensagem não lida por **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 00:58

Oi, Vivian. Tudo bem?
Resolvi esta questão e encontrei letra A.
É esse o gabarito?
Da mesma maneira que no caso daquela questão de derivadas, vou dar mais uma caprichada na explicação da resolução antes de postar aqui.
O objetivo é que ninguém tenha dúvida da maneira como eu cheguei ao resultado.

Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 15:24 · Mensagem não lida por **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 15:24

Oi, Vivian. Resolvi a questão e estou postando agora a sua resolução.
A equação do plano tem a forma:
ax + by + cz + d = 0.
Sendo A(1,0,1) um ponto do plano: a(1) + b(0) + c(1) + d = 0. a + c + d = 0 (1)
Sendo B(0,1,-1) outro ponto do plano, teremos igualmente:
a(0) + b(1) + c(-1) + d = 0. b -c + d = 0 (2)
O segmento que une os pontos (1,2,1) e (0,1,0) é o vetor u que é dado por:
u = (0-1, 1-2, 0-1) u = (-1,-1,-1)
v = (a, b, c) é um vetor perpendicular ao plano.
Se u é paralelo ao plano e v é perpendicular, então u e v são perpendiculares, isto é, u.v = 0.
u.v = 0 -a -b -c = 0 a = -b -c (3)
Assim, teremos um sistema formado por três equações.
a + c + d = 0 (1)
b - c + d = 0 (2)
a + b + c = 0 (3)
Somando (1) e (2): a + b + 2d = 0 a + b = -2d (4)
Substituindo em (3): -2d + c = 0 c = 2d
Substituindo em (1): a + 2d + d = 0 a = -3d
Substituindo em (2): b - 2d + d = 0 b = d
Lembrando que a equação do plano é determinada por ax + by + cz + d = 0, teremos:
-3d(x) + d(y) + 2d(z) + d = 0
Observamos que a variável comum d pode ser eliminada. Portanto:
-3x + y + 2z + d = 0. Multiplicando todos os termos por (-1), finalmente teremos:
3x - y - 2z - 1 = 0, que é a alternativa A.

Mensagem não lidapor **marco_sx** » 02 Abr 2007, 19:19 · Mensagem não lida por **marco_sx** » 02 Abr 2007, 19:19

Oi Vivian e mvgcsdf.
Também achei a alternativa A mas resolvi um pouco diferente.

Primeiro achei dois vetores diretores, um usando os pontos que pertencem ao plano e outro usando os pontos do segmento:
[tex3]\vec{u}=(0-1,1-0,-1-1)=(-1,1,-2)[/tex3] e [tex3]\vec{v}=(0-1,1-2,0-1)=(-1,-1,-1)[/tex3]

Quando temos um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores podemos usar o seguinte determinante para achar a equação do plano:
[tex3]A=(a,b,c)[/tex3] , [tex3]\vec{u}=(r,s,t)[/tex3] e [tex3]\vec{v}=(m,n,p)[/tex3]
[tex3]\left|\begin{array}{ccc} x-a & y-b & z-c\\ r & s & t\\ m & n & p \end{array}\right|=0[/tex3]

No caso temos:
[tex3]\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-0 & z-1 \\ -1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right|=0 \Rightarrow 3x-y-2z-1=0[/tex3]

Mensagem não lidapor **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 19:28 · Mensagem não lida por **mvgcsdf** » 02 Abr 2007, 19:28

TB tem esse caminho. Inicialmente, havia feito exatamente como vc fez, mas achei melhor postar por aquela maneira pra mostrar "o caminho das pedras".
Mas a sua solução está corretíssima.
Valeu, doutor!!

Mensagem não lidapor **vivianpibn** » 03 Abr 2007, 10:05 · Mensagem não lida por **vivianpibn** » 03 Abr 2007, 10:05

Obrigada Marcos e Marco pelas soluções!

Valeu pela ajuda!

Vivian

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