O eixo das abcissas divide o plano em duas partes. A "de cima", onde
e a "de baixo", onde
.
Um segmento de reta traçado no plano intersectará esse eixo apenas se os extremos estiverem em partes distintas. Se, por exemplo, os dois extremos estiverem na parte de cima, não há como cruzar o eixo das abscissas. Também pode ser o caso de um dos (ou os dois) extremos pertencerem ao eixo. No primeiro caso, a interseção será justamente o extremo do segmento localizado sobre o eixo; no segundo, todo o segmento.
Com isso em mente, analisamos a equação do segundo grau e identificamos para quais valores de
teremos um
positivo, e para quais valores de
teremos um
negativo. Dessa parte, eu presumo que você tem o conhecimento suficiente.
Então, se, por exemplo,
, teremos
e, se
, teremos
. Logo, se traçarmos um segmento de reta tendo esses dois pontos como extremos, o mesmo intersectará com o eixo das abscissas.
Agora, para
ou
teremos
e, portanto, se traçarmos um segmento de reta tendo esses dois pontos como extremos, não intersectará com o eixo das abscissas.
Assim:
Para
, temos
Para
, temos
Para
, temos
Aí é aplicar o raciocínio de que um ponto deve estar abaixo do eixo das abscissas (ou exatamente no eixo) e o outro acima (ou exatamente no eixo).
Agora, com relação à combinação de 5, 2 a 2, essa é a quantidade total de segmentos possíveis, passando ou não pelo eixo das abscissas. Cinco pontos, combinados dois a dois, porque a ordem não importa. O segmento AB, por exemplo, equivale ao segmento BA.