Ensino Médio

Mensagem não lidapor **davisimoes** » 23 Out 2015, 10:39 · Mensagem não lida por **davisimoes** » 23 Out 2015, 10:39

Esboce um gráfico e indique por meio de hachuras o conjunto dos pontos P(x, y) [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}^{2}[/tex3] que satisfazem o seguinte sistema de desigualdades:

$\begin{cases} 0 \leq xy \leq 1 \\ x^{2} + y^{2} \leq 2 \end{cases}$

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 23 Out 2015, 22:15 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 23 Out 2015, 22:15

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Mensagem não lidapor **davisimoes** » 24 Out 2015, 18:32 · Mensagem não lida por **davisimoes** » 24 Out 2015, 18:32

como conseguiu chegar neste gráfico ?

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 25 Out 2015, 09:43 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 25 Out 2015, 09:43

A equação reduzida da circunferência é dada por $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$ , onde $(x_c,y_c)$ são as coordenadas do seu centro.

Logo, a equação $x^2+y^2=2$ determina uma circunferência de centro na origem do plano e raio igual a $\sqrt{2}$ . Assim, todos os pontos de coordenadas $(x,y)$ tais que $x^2+y^2=2$ estarão localizados na circunferência.

Veja que isso nada mais é que uma aplicação do Teorema de Pitágoras.

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Portanto, se a soma $x^2+y^2$ for menor que 2 (o triângulo será menor), o ponto de coordenadas $(x,y)$ estará localizado dentro da circunferência.

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Por outro lado, se a soma $x^2+y^2$ for maior que 2 (o triângulo será maior), o ponto de coordenadas $(x,y)$ estará localizado fora da circunferência.

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Logo, a inequação $x^2+y^2\leq2$ determina a região formada por todos da circunferência de equação $x^2+y^2=2$ , além de todos os seus pontos internos.

Agora sobre a primeira inequação (composta).

Nessa inequação, temos duas informações:

1) $xy\geq0$
e
2) $xy\leq1$

Vamos analisar o caso (2). Como feito anteriormente, vamos trabalhar inicialmente apenas com a equação e, em seguida, verificar o impacto do sinal "menor que".

$xy=1\Rightarrow y=\frac{1}{x}$

Bem, essa é uma função básica de geometria analítica e seu gráfico é o seguinte:

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E agora precisamos analisar o impacto da inclusão do sinal "menor que" na equação.

Diferentemente de como acontece em uma equação, não podemos nos esquecer que, se dividimos os termos por um valor negativo, o sinal da inequação se inverte.

$xy\leq1\Rightarrow\begin{cases}y\leq\frac{1}{x},\text{ para }x>0\\y\geq\frac{1}{x},\text{ para }x<0\\y\in\mathbb{R},\text{ para }x=0\end{cases}$ , e isso nos leva ao seguinte gráfico:

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Repare que:

1) para $x>0$ , a região hachurada contém apenas valores iguais ou menores que $\frac{1}{x}$ .

2) para $x<0$ , a região hachurada contém apenas valores iguais ou maiores que $\frac{1}{x}$ .

Tape com sua mão cada um dos lados para visualizar com maior facilidade o outro. Por exemplo:

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Assim ficou claro que, para $x<0$ , a região hachurada contém apenas valores iguais ou maiores que $\frac{1}{x}$ , não?

Agora, vamos analisar o caso (1).

Se $xy\geq0$ , $x$ e $y$ devem ser simultaneamente positivos, negativos, ou iguais a zero, concorda? Logo, os quadrantes 2 e 4 não atendem, visto que neles $x$ e $y$ possem sinais contrários e, portanto, o seu produto será negativo.

Assim, a região determinada pela inequação composta fica limitada aos quadrantes 1 e 3.

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Mensagem não lidapor **davisimoes** » 25 Out 2015, 17:28 · Mensagem não lida por **davisimoes** » 25 Out 2015, 17:28

muito obrigado me esclareceu de uma forma clara e precisa

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