Alguém poderia me ajudar nesta questão:
Usando a formula de Bhaskara
[tex3]\sqrt{a}[/tex3]
+- [tex3]\sqrt{b} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}[/tex3]
+- [tex3]\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}[/tex3]
Mostre que n= [tex3]\sqrt{\frac{27-5\sqrt{8}}{25}} + \sqrt{\frac{27+5\sqrt{8}}{25}}[/tex3]
é um número inteiro
Ensino Superior ⇒ Fórmula de Bhaskara
- ANNA2013MARY
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24
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Fórmula de Bhaskara
Editado pela última vez por ANNA2013MARY em 24 Set 2015, 19:42, em um total de 2 vezes.
- undefinied3
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Set 2015
24
20:54
Re: Fórmula de Bhaskara
[tex3]27-5\sqrt{8} = 27-10\sqrt{2}[/tex3]
Agora vamos tentar completar quadrados, lembrando que [tex3](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex3]
Perceba que, na expressão acima, [tex3]27=a^2+b^2[/tex3] e [tex3]10\sqrt{2}=2ab[/tex3]
[tex3]27-10\sqrt{2} = 5^2 + \sqrt{2}^2 - 2*5*sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2[/tex3]
E da mesma forma demonstramos que o segundo termo é [tex3](a+b)^2[/tex3] com [tex3]a=5[/tex3] e [tex3]b=sqrt{2}[/tex3]
Assim, temos que a expressão dada é igual a:
[tex3]\sqrt{\frac{27-5\sqrt{8}}{25}} + \sqrt{\frac{27+5\sqrt{8}}{25}} = \sqrt{\frac{(5-\sqrt{2})^2}{25}} + \sqrt{\frac{(5+\sqrt{2})^2}{25}} = \frac{(5-\sqrt{2})}{5} + \frac{(5+\sqrt{2})}{5} = \frac{10}{5} = 2[/tex3]
Agora vamos tentar completar quadrados, lembrando que [tex3](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex3]
Perceba que, na expressão acima, [tex3]27=a^2+b^2[/tex3] e [tex3]10\sqrt{2}=2ab[/tex3]
[tex3]27-10\sqrt{2} = 5^2 + \sqrt{2}^2 - 2*5*sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2[/tex3]
E da mesma forma demonstramos que o segundo termo é [tex3](a+b)^2[/tex3] com [tex3]a=5[/tex3] e [tex3]b=sqrt{2}[/tex3]
Assim, temos que a expressão dada é igual a:
[tex3]\sqrt{\frac{27-5\sqrt{8}}{25}} + \sqrt{\frac{27+5\sqrt{8}}{25}} = \sqrt{\frac{(5-\sqrt{2})^2}{25}} + \sqrt{\frac{(5+\sqrt{2})^2}{25}} = \frac{(5-\sqrt{2})}{5} + \frac{(5+\sqrt{2})}{5} = \frac{10}{5} = 2[/tex3]
Editado pela última vez por undefinied3 em 24 Set 2015, 20:54, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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