Pré-Vestibular ⇒ (PUC-SP 1979) PG Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

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[tex3]\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{n+K-1)(n+k)}[/tex3]

é igual
a)

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[tex3]\frac{2K}{n+1}[/tex3]

b)

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[tex3]\frac{K}{n(n+1)}[/tex3]

c)

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[tex3]\frac{Kn}{n-1}[/tex3]

d)

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[tex3]\frac{K}{n(n+K)}[/tex3]

e)

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[tex3]\frac{2K}{n(n-K)}[/tex3]

Resposta

---

d

[PedroCunha]

Olá, José Carlos.

Veja que:

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[tex3]\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \therefore \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{An + A + Bn}{n \cdot (n+1)} \therefore 1 = n \cdot (A+B) + A \\\\ \Leftrightarrow A = 1, B = -1[/tex3]

Ou seja,

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[tex3]\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}[/tex3]

. Reescrevendo a soma, teremos:

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[tex3]\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+k-1} - \frac{1}{n+k}[/tex3]

que é uma soma telescópica, cujo valor é:

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[tex3]\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \therefore \frac{n + k - n}{n \cdot (n+k)} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{k}{n \cdot (n+k)} }}[/tex3]

Att.,
Pedro