Pré-Vestibular(Puc-1979) Binômio de Newton Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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jose carlos de almeida
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Mar 2015 25 23:40

(Puc-1979) Binômio de Newton

Mensagem não lida por jose carlos de almeida »

Se [tex3](2x-y)^4=a_1x^4+a_2x^3y+a_3x^2y^2+a_4xy^3+a_5y^4[/tex3] ,então [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i[/tex3] é igual a;

a) 3
b) 2
c) 1
d) 5
e) 6
Resposta

c

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Razão: TeX --> Tex3


JOSE CARLOS

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poisedom
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Re: (Puc-1979) Binômio de Newton

Mensagem não lida por poisedom »

[tex3](2x-y)^4=(2x)^4+4\cdot(2x)^3(-y)+6\cdot(2x)^2(-y)^2+4\cdot2x(-y)^3+(-y)^4[/tex3]
[tex3](2x-y)^4=16x^4-32x^3y+24x^2y^2-8xy^3+y^4[/tex3]

então [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i=16-32+24-8+1=1[/tex3]

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caju
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Re: (Puc-1979) Binômio de Newton

Mensagem não lida por caju »

Olá jose e poisedom,

Uma maneira mais rápida de fazer esta questão, sem precisar desenvolver todo o binômio, é ver que o somatório que está sendo pedido nada mais é do que a soma de todos os coeficientes.

Essa soma, conseguimos rapidamente substituindo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] por [tex3]1[/tex3] na expressão [tex3](2x-y)^4[/tex3] .

Sendo assim:

[tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i=(2\cdot 1-1)^4=1[/tex3]

Imagina se a questão pedisse o somatório [tex3]\sum_{i=1}^{100}a_i[/tex3] do binômio [tex3](2x-y)^{99}[/tex3] . Seria impossível de fazer o desenvolvimento deste binômio em uma prova.

Grande abraço,
Prof. Caju
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Babi123
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Re: (Puc-1979) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Babi123 »

Qual a liberdade de tomar [tex3]x=y=1[/tex3] ?



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caju
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Re: (Puc-1979) Binômio de Newton

Mensagem não lida por caju »

Olá Babi123,

Vou dar um exemplo mais prático para tentar ilustrar a técnica que utilizei. Se for pedido qual a soma dos coeficientes do polinômio [tex3]p(x)=45x^5+3x^4-20x^3+10x^2-4x+9[/tex3] , você consegue enxergar que, somar os coeficientes é a mesma coisa que substituir [tex3]x=1[/tex3] e ver qual o valor de [tex3]p(1)[/tex3] ? Quando colocamos [tex3]x=1[/tex3] , todos os [tex3]x[/tex3] da expressão serão retirados, ficando apenas uma soma dos coeficientes.

Esta é uma propriedade legal de uma expressão matemática. A soma dos coeficientes é sempre igual a avaliarmos seu valor com as variáveis iguais a 1.

No caso da questão, como a expressão é função de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] , ao substituirmos [tex3]x=y=1[/tex3] , teremos apenas os coeficientes sendo somados. E, o somatório pedido [tex3]\sum_{i=1}^{5}a_i[/tex3] nada mais é do que o somatório dos coeficientes. Assim, chegamos à solução de uma forma mais rápida :)

Como eu disse na minha mensagem anterior: nesta questão em si esta técnica pode não ser muito visivelmente melhor do que desenvolver [tex3](2x-y)^4[/tex3] . Mas, em uma questão que pedisse a soma dos coeficientes de [tex3](2x-y)^{100}[/tex3] , desenvolver o Binômio de Newton todo seria um trabalho astronômico, e esta técnica teria uma vantagem gigantesca.

Grande abraço,
Prof. Caju



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