IME / ITA ⇒ (AFA - 2005) Polinômios Tópico resolvido

[PréIteano]

O conjunto solução [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

de [tex3]P(x) = 0[/tex3]

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[tex3]P(x) = 0[/tex3]

, possui [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

elementos. Sabendo-se que [tex3]P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3}[/tex3]

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[tex3]P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3}[/tex3]

, onde [tex3]m\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]m\in \mathbb{R}[/tex3]

, assinale a alternativa INCORRETA:

a) O número [tex3]m[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3].
b) Os elementos de [tex3]S[/tex3] formam uma progressão aritmética.
c) [tex3]S[/tex3] é constituído só de números pares.
d) [tex3]R(x)[/tex3], resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x - 1)[/tex3], é um polinômio de grau zero

Resposta

---

R: b

[roberto]

Colocando [tex3]x^3[/tex3]

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[tex3]x^3[/tex3]

em evidência, percebemos que 0 é raiz tripla, então devemos ter mais duas raízes diferentes.
[tex3]P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3}=x^3(x^3-mx+16)[/tex3]

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[tex3]P(x) = x^{6}-mx^{4}+16x^{3}=x^3(x^3-mx+16)[/tex3]

E para que tenhamos apenas outras 2 raízes diferentes, [tex3](x^3-mx+16)[/tex3]

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[tex3](x^3-mx+16)[/tex3]

deve ter raiz dupla!!!
logo: [tex3](x^3-mx+16)=(x-a)^2.(x-b)[/tex3]

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[tex3](x^3-mx+16)=(x-a)^2.(x-b)[/tex3]

desenvolvendo e resolvendo descobrimos que m=12 e as outras raízes são 2 e -4 (não estão em PA)