Pré-Vestibular ⇒ (UNESP - 2006.2) Complexos Tópico resolvido

[IgorAlmeida]

Se [tex3]a, b, c[/tex3]

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[tex3]a, b, c[/tex3]

são números inteiros positivos tais que [tex3]c = (a + bi)^2 - 14i[/tex3]

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[tex3]c = (a + bi)^2 - 14i[/tex3]

, em que [tex3]i^2 = -1[/tex3]

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[tex3]i^2 = -1[/tex3]

, o valor de [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

é

a) 48.
b) 36.
c) 24.
d) 14.
e) 7.

[PedroCunha]

Olá, IgorAlmeida.

Desenvolvamos a igualdade dada:

[tex3]c = (a+bi)^2 -14i \therefore c = a^2 + 2abi + b^2i^2 - 14i \therefore c = (a^2-b^2) + i \cdot (2ab-14)[/tex3]

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[tex3]c = (a+bi)^2 -14i \therefore c = a^2 + 2abi + b^2i^2 - 14i \therefore c = (a^2-b^2) + i \cdot (2ab-14)[/tex3]

Por igualdade entre a parte real e a parte imaginária, temos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}

a^2-b^2 = c \dots I \\ 2ab -14 = 0 \rightarrow ab = 7

\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}

a^2-b^2 = c \dots I \\ 2ab -14 = 0 \rightarrow ab = 7

\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]a,b,c \in \mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]a,b,c \in \mathbb{N}[/tex3]

- inteiros positivos -, então, [tex3]a^2-b^2 > 0 \therefore a > b[/tex3]

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[tex3]a^2-b^2 > 0 \therefore a > b[/tex3]

e com isso, sabendo que [tex3]ab = 7 \rightarrow ab = 7 \cdot 1 \Leftrightarrow a =7,b = 1[/tex3]

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[tex3]ab = 7 \rightarrow ab = 7 \cdot 1 \Leftrightarrow a =7,b = 1[/tex3]

. Assim:

[tex3]c = 7^2 - 1^2 \therefore c = 48[/tex3]

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[tex3]c = 7^2 - 1^2 \therefore c = 48[/tex3]

Att.,
Pedro