Ensino Médio

19 Jun 2014, 02:57

Num triângulo retângulo de catetos com medidas 3cm e 4cm, calcule a medida do raio da circunferência inscrita.

Resposta

Resp. r= 1cm

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 19 Jun 2014, 07:02 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 19 Jun 2014, 07:02

Dado,

$a$ = cateto
$b$ = cateto
$c$ = hipotenusa
$r$ = raio da circunferência inscrita

Temos que,

$a+b=c+2r$

Por Pitágoras,

$c^2=a^2+b^2\rightarrow c^2=3^2+4^2\rightarrow c=5$

Portanto,

$3+4=5+2r\rightarrow r=1$

19 Jun 2014, 21:57

csmarcelo escreveu:Dado,

$a$
Código: Selecionar tudo
[tex3]a[/tex3]
= cateto
$b$
Código: Selecionar tudo
[tex3]b[/tex3]
= cateto
$c$
Código: Selecionar tudo
[tex3]c[/tex3]
= hipotenusa
$r$
Código: Selecionar tudo
[tex3]r[/tex3]
= raio da circunferência inscrita

Temos que,

$a+b=c+2r$
Código: Selecionar tudo
[tex3]a+b=c+2r[/tex3]

Por Pitágoras,

$c^2=a^2+b^2\rightarrow c^2=3^2+4^2\rightarrow c=5$
Código: Selecionar tudo
[tex3]c^2=a^2+b^2\rightarrow c^2=3^2+4^2\rightarrow c=5[/tex3]

Portanto,

$3+4=5+2r\rightarrow r=1$
Código: Selecionar tudo
[tex3]3+4=5+2r\rightarrow r=1[/tex3]

Essa propriedade cs: a+b=c+2r
Como que se chega nela? E de dificil demonstração?

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 19 Jun 2014, 22:32 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 19 Jun 2014, 22:32

Não, a demonstração é simples. Veja abaixo:

: Untitled.png (11.2 KiB) Exibido 759 vezes

$a=x+r\rightarrow x=a-r\ (I)$
$b=y+r\rightarrow y=b-r\ (II)$
$c=x+y\ (III)$

Substituindo $(I)$ e $(II)$ em $(III)$ :

$c=(a-r)+(b-r)\rightarrow c+2r=a+b$

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