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Ensino Superior ⇒ Frações Contínuas e Infinitas Tópico resolvido
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Cardoso1979
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Jun 2022
27
12:49
Re: Frações Contínuas e Infinitas
Observe
Eba!!!!! Mais uma questão com gabarito
Obs. Geralmente esses tipos de questões o autor pede para provar , mostrar , etc ou vem acompanhada de alternativas.
Uma solução:
Vamos utilizar o Produto de Wallis , que é definido por
W( n ) = [ ( 1.3 )/( 2.2 ) ].[ ( 3.5 )/( 4.4 ) ].[ ( 5.7 )/( 6.6 ) ] . ... . [ ( 2n - 1 ).( 2n + 1 ) ]/( 2n.2n ) , n = 1 , 2 , 3 , ...
Para o caso em questão, teremos o seguinte formato:
[tex3]( 4n + 1 ) + \frac{1^2}{2( 4n + 1 ) + \frac{3^2}{ 2( 4n + 1 )+\frac{5^2}{2(4n + 1 ) + \frac{7^2}{ 2(4n + 1 ) + \frac{ 9^2}{ 2(4n + 1 ) + \ {}{...}}}}}} = \ ( 2n + 1 ).\frac{1}{W( n )}.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 3 , temos
[tex3]13 + \frac{1}{ 26 \ + \ \frac{9}{ 26 \ + \ \frac{25}{26 \ + \ \frac{49}{ 26 \ + \ \frac{ 81 }{ 26 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 7.\frac{2.2}{1.3}.\frac{ 4.4 }{ 3.5 }.\frac{ 6.6 }{ 5.7 }.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 2 , temos
[tex3]9 + \frac{1}{ 18 \ + \ \frac{9}{ 18 \ + \ \frac{25}{ 18 \ + \ \frac{49}{ 18 \ + \ \frac{ 81 }{ 18 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 5.\frac{2.2}{1.3}.\frac{ 4.4 }{ 3.5 }.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 1 , obtemos
[tex3]5 + \frac{1}{ 10 \ + \ \frac{9}{ 10 \ + \ \frac{25}{ 10 \ + \ \frac{49}{ 10 \ + \ \frac{ 81 }{ 10 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 3.\frac{2.2}{1.3}.\frac{4}{π} [/tex3]
Perceba que há um padrão, ou melhor, enquanto que com relação à sequência 4n + 1 há uma redução de quatro ( 4 ) se comparado com a fração contínua anterior, já com relação à sequência 2( 4n + 1 ) há uma diminuição de oito ( 8 ) , quando se compara uma fração contínua anterior com a fração contínua posterior. Logo, podemos concluir que
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ 2 \ + \ \frac{ 81 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{4}{π} [/tex3]
Nota 1
Observe -se que as frações contínuas em questão são da forma:
[tex3] FC( x ) = x + \frac{ 1^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 3^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 5^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 7^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 9^2 }{ 2x \ + \ \ {}{...}}}}}} [/tex3]
Pode ser que tenha uma solução menos traumática!
Nota 2 ( Um pouco de história)
Ao longo da história encontraram-se muitas expressões matemáticas para a famosa constante π. Por exemplo, o matemático britânico John Wallis (1616 − 1703), que foi um membro fundador da Royal Society e contribuiu nas origens do cálculo, em seu
livro Arithmetica Infinitorum , apresenta uma representação de π como o produto infinito
( 2/π ) = [ (1.3)/(2.2) ].[ (3.5)/(4.4) ].[ (5.7)/(6.6) ].[(7.9)/(8.[tex3]8[/tex3] ]· · ·
O matemático inglês Willian Brouncker, por sua vez, transformou essa expressão (sem prova e aproximadamente em 1659) na seguinte lista de frações contínuas generalizadas:
[tex3] 1 + \frac{1^2}{ 2 \ + \ \frac{3^2}{ 2 \ + \ \frac{5^2}{ 2 \ + \ \frac{7^2}{ 2 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{4}{π} [/tex3]
[tex3] 3 + \frac{1^2}{ 6 \ + \ \frac{3^2}{ 6 \ + \ \frac{5^2}{ 6 \ + \ \frac{7^2}{ 6 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 6 \ + \ \ {}{...}}}}}} = π [/tex3]
[tex3] 5 + \frac{1^2}{ 10 \ + \ \frac{3^2}{ 10 \ + \ \frac{5^2}{ 10 \ + \ \frac{7^2}{ 10 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 10 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{16}{π} [/tex3]
[tex3] 7 + \frac{1^2}{ 14 \ + \ \frac{3^2}{ 14 \ + \ \frac{5^2}{ 14 \ + \ \frac{7^2}{ 14 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 14 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 9 }{4}π [/tex3]
[tex3] 9 + \frac{1^2}{ 18 \ + \ \frac{3^2}{ 18 \ + \ \frac{5^2}{ 18 \ + \ \frac{7^2}{ 18 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 18 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 256 }{ 9π } [/tex3]
[tex3]11 + \frac{1^2}{ 22 \ + \ \frac{3^2}{ 22 \ + \ \frac{5^2}{ 22 \ + \ \frac{7^2}{ 22 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 22 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 225 }{ 64 }π [/tex3]
[tex3]13 + \frac{1^2}{ 26 \ + \ \frac{3^2}{ 26 \ + \ \frac{5^2}{ 26 \ + \ \frac{7^2}{ 26 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 26 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 1024 }{ 25π } [/tex3]
[tex3]15 + \frac{1^2}{ 30 \ + \ \frac{3^2}{ 30 \ + \ \frac{5^2}{ 30 \ + \ \frac{7^2}{ 30 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 30 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 11025 }{ 2304 }π [/tex3]
.
.
.
Depois eu posto uma "solução mais simples" ...
Excelente estudo!
Eba!!!!! Mais uma questão com gabarito
Obs. Geralmente esses tipos de questões o autor pede para provar , mostrar , etc ou vem acompanhada de alternativas.
Uma solução:
Vamos utilizar o Produto de Wallis , que é definido por
W( n ) = [ ( 1.3 )/( 2.2 ) ].[ ( 3.5 )/( 4.4 ) ].[ ( 5.7 )/( 6.6 ) ] . ... . [ ( 2n - 1 ).( 2n + 1 ) ]/( 2n.2n ) , n = 1 , 2 , 3 , ...
Para o caso em questão, teremos o seguinte formato:
[tex3]( 4n + 1 ) + \frac{1^2}{2( 4n + 1 ) + \frac{3^2}{ 2( 4n + 1 )+\frac{5^2}{2(4n + 1 ) + \frac{7^2}{ 2(4n + 1 ) + \frac{ 9^2}{ 2(4n + 1 ) + \ {}{...}}}}}} = \ ( 2n + 1 ).\frac{1}{W( n )}.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 3 , temos
[tex3]13 + \frac{1}{ 26 \ + \ \frac{9}{ 26 \ + \ \frac{25}{26 \ + \ \frac{49}{ 26 \ + \ \frac{ 81 }{ 26 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 7.\frac{2.2}{1.3}.\frac{ 4.4 }{ 3.5 }.\frac{ 6.6 }{ 5.7 }.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 2 , temos
[tex3]9 + \frac{1}{ 18 \ + \ \frac{9}{ 18 \ + \ \frac{25}{ 18 \ + \ \frac{49}{ 18 \ + \ \frac{ 81 }{ 18 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 5.\frac{2.2}{1.3}.\frac{ 4.4 }{ 3.5 }.\frac{4}{π} [/tex3]
Para n = 1 , obtemos
[tex3]5 + \frac{1}{ 10 \ + \ \frac{9}{ 10 \ + \ \frac{25}{ 10 \ + \ \frac{49}{ 10 \ + \ \frac{ 81 }{ 10 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \ 3.\frac{2.2}{1.3}.\frac{4}{π} [/tex3]
Perceba que há um padrão, ou melhor, enquanto que com relação à sequência 4n + 1 há uma redução de quatro ( 4 ) se comparado com a fração contínua anterior, já com relação à sequência 2( 4n + 1 ) há uma diminuição de oito ( 8 ) , quando se compara uma fração contínua anterior com a fração contínua posterior. Logo, podemos concluir que
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ 2 \ + \ \frac{ 81 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{4}{π} [/tex3]
Nota 1
Observe -se que as frações contínuas em questão são da forma:
[tex3] FC( x ) = x + \frac{ 1^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 3^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 5^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 7^2 }{ 2x \ + \ \frac{ 9^2 }{ 2x \ + \ \ {}{...}}}}}} [/tex3]
Pode ser que tenha uma solução menos traumática!
Nota 2 ( Um pouco de história)
Ao longo da história encontraram-se muitas expressões matemáticas para a famosa constante π. Por exemplo, o matemático britânico John Wallis (1616 − 1703), que foi um membro fundador da Royal Society e contribuiu nas origens do cálculo, em seu
livro Arithmetica Infinitorum , apresenta uma representação de π como o produto infinito
( 2/π ) = [ (1.3)/(2.2) ].[ (3.5)/(4.4) ].[ (5.7)/(6.6) ].[(7.9)/(8.[tex3]8[/tex3] ]· · ·
O matemático inglês Willian Brouncker, por sua vez, transformou essa expressão (sem prova e aproximadamente em 1659) na seguinte lista de frações contínuas generalizadas:
[tex3] 1 + \frac{1^2}{ 2 \ + \ \frac{3^2}{ 2 \ + \ \frac{5^2}{ 2 \ + \ \frac{7^2}{ 2 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{4}{π} [/tex3]
[tex3] 3 + \frac{1^2}{ 6 \ + \ \frac{3^2}{ 6 \ + \ \frac{5^2}{ 6 \ + \ \frac{7^2}{ 6 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 6 \ + \ \ {}{...}}}}}} = π [/tex3]
[tex3] 5 + \frac{1^2}{ 10 \ + \ \frac{3^2}{ 10 \ + \ \frac{5^2}{ 10 \ + \ \frac{7^2}{ 10 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 10 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{16}{π} [/tex3]
[tex3] 7 + \frac{1^2}{ 14 \ + \ \frac{3^2}{ 14 \ + \ \frac{5^2}{ 14 \ + \ \frac{7^2}{ 14 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 14 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 9 }{4}π [/tex3]
[tex3] 9 + \frac{1^2}{ 18 \ + \ \frac{3^2}{ 18 \ + \ \frac{5^2}{ 18 \ + \ \frac{7^2}{ 18 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 18 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 256 }{ 9π } [/tex3]
[tex3]11 + \frac{1^2}{ 22 \ + \ \frac{3^2}{ 22 \ + \ \frac{5^2}{ 22 \ + \ \frac{7^2}{ 22 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 22 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 225 }{ 64 }π [/tex3]
[tex3]13 + \frac{1^2}{ 26 \ + \ \frac{3^2}{ 26 \ + \ \frac{5^2}{ 26 \ + \ \frac{7^2}{ 26 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 26 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 1024 }{ 25π } [/tex3]
[tex3]15 + \frac{1^2}{ 30 \ + \ \frac{3^2}{ 30 \ + \ \frac{5^2}{ 30 \ + \ \frac{7^2}{ 30 \ + \ \frac{ 9^2 }{ 30 \ + \ \ {}{...}}}}}} = \frac{ 11025 }{ 2304 }π [/tex3]
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Depois eu posto uma "solução mais simples" ...
Excelente estudo!
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Jul 2022
17
10:50
Re: Frações Contínuas e Infinitas
Outra maneira:
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ 2 \ + \ \frac{ 81 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ \frac{ 85 }{ 2 }}}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{ 98 }{ 85 }}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ \frac{ 268 }{ 85 } }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{ 2125}{ 268 }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ \frac{ 2661 }{ 268 }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{ 2412 }{ 2661 }} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ \frac{ 7734 }{ 2661 }} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{ 2661 }{ 7734 } = [/tex3]
[tex3]\frac{ 10395 }{ 7734 } = 1,34400651667... ≈ 1,3 ≈ \frac{ 4 }{ π } [/tex3]
Excelente estudo!
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ 2 \ + \ \frac{ 81 }{ 2 \ + \ \ {}{...}}}}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{49}{ \frac{ 85 }{ 2 }}}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ 2 \ + \ \frac{ 98 }{ 85 }}}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{25}{ \frac{ 268 }{ 85 } }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ 2 \ + \ \frac{ 2125}{ 268 }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{9}{ \frac{ 2661 }{ 268 }}} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ 2 \ + \ \frac{ 2412 }{ 2661 }} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{1}{ \frac{ 7734 }{ 2661 }} = [/tex3]
[tex3]1 + \frac{ 2661 }{ 7734 } = [/tex3]
[tex3]\frac{ 10395 }{ 7734 } = 1,34400651667... ≈ 1,3 ≈ \frac{ 4 }{ π } [/tex3]
Excelente estudo!
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