Ensino Superior ⇒ Derivadas parciais Tópico resolvido

[Stich]

Seja [tex3]z=\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sen\,t^2dt\right]du[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sen\,t^2dt\right]du[/tex3]

. Calcule [tex3]\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}[/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]-4xy\sen(x^2-y^2)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4xy\sen(x^2-y^2)^2[/tex3]

[rcompany]

[tex3]\begin{array}{rl}f(x,y)&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sin(t^2)dt\right]du\\[12pt]
&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}(G(u)-G(0))du\quad G\text{ primitiva de }\!\sin(t^2)\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)\quad F\text{ primitiva de }G\\[24pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=2xF^\prime(x^2-y^2)-2G(0)x\\
\dfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}&=-4xyF^{\!\prime\prime}\!(x^2-y^2)=-4xy\sin\left(\left(x^2-y^2\right)^2\right)\\[12pt]



\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{rl}f(x,y)&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sin(t^2)dt\right]du\\[12pt]
&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}(G(u)-G(0))du\quad G\text{ primitiva de }\!\sin(t^2)\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)\quad F\text{ primitiva de }G\\[24pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=2xF^\prime(x^2-y^2)-2G(0)x\\
\dfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}&=-4xyF^{\!\prime\prime}\!(x^2-y^2)=-4xy\sin\left(\left(x^2-y^2\right)^2\right)\\[12pt]



\end{array}
[/tex3]

[Stich]

[tex3]\begin{array}{rl}f(x,y)&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sin(t^2)dt\right]du\\[12pt]
&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}(G(u)-G(0))du\quad G\text{ primitiva de }\!\sin(t^2)\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)\quad F\text{ primitiva de }G\\[24pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=2xF^\prime(x^2-y^2)-2G(0)x\\
\dfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}&=-4xyF^{\!\prime\prime}\!(x^2-y^2)=-4xy\sin\left(\left(x^2-y^2\right)^2\right)\\[12pt]



\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{rl}f(x,y)&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\left[\int_0^u\sin(t^2)dt\right]du\\[12pt]
&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}(G(u)-G(0))du\quad G\text{ primitiva de }\!\sin(t^2)\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)\quad F\text{ primitiva de }G\\[24pt]

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=2xF^\prime(x^2-y^2)-2G(0)x\\
\dfrac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}&=-4xyF^{\!\prime\prime}\!(x^2-y^2)=-4xy\sin\left(\left(x^2-y^2\right)^2\right)\\[12pt]



\end{array}
[/tex3]

Como se deu a passagem para essa igualdade ? [tex3]=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)[/tex3]

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[tex3]=F(x^2-y^2)-F(1)-G(0)(x^2-y^2)+G(0)[/tex3]

[rcompany]

[tex3]\begin{array}{rl}\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!(G(u)-G(0))du&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!G(u)du-\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!G(0)du\\
&=\left[F(u)\right]_1^{x^2-y^2}-\left[G(0)u\right]_1^{x^2-y^2}\quad G(0)\text{ constante e então }\displaystyle\int G(0)du=G(0)\cdot u+C\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)+G(0)(x^2-y^2)+G(0)

\end{array}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{rl}\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!(G(u)-G(0))du&=\displaystyle\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!G(u)du-\int_1^{x^2-y^2}\!\!\!\!\!\!G(0)du\\
&=\left[F(u)\right]_1^{x^2-y^2}-\left[G(0)u\right]_1^{x^2-y^2}\quad G(0)\text{ constante e então }\displaystyle\int G(0)du=G(0)\cdot u+C\\
&=F(x^2-y^2)-F(1)+G(0)(x^2-y^2)+G(0)

\end{array}
[/tex3]

[rcompany]

[tex3]\text{para ser rigoroso, teríamos que demonstrar que }F\text{ e }G\text{ existem}\\
G \text{ existe em }[0;u]\text{ ou }[u;0]\text{ jà que }\phi:t\mapsto\sin(t^2)\text{ é contínua em qualquer intervalo }I=[0;u]\text{ ou }I=[u;0],\\\text{qualquer sejam }u\text{ de }\mathbb{R}\\ \text{ou por que }\phi_1:t\mapsto\sin(t) \text{ é integrável em }\mathbb{R}\text{ e }\phi_2:t\mapsto t^2 \text{ é integrável em }\mathbb{R}\text{ e }\phi_2(\mathbb{R})\subset\mathcal{D}_{\phi_1},\text{ e então }\phi_1\!\!\circ\!\phi_2\text{ é integravel em }\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{para ser rigoroso, teríamos que demonstrar que }F\text{ e }G\text{ existem}\\
G \text{ existe em }[0;u]\text{ ou }[u;0]\text{ jà que }\phi:t\mapsto\sin(t^2)\text{ é contínua em qualquer intervalo }I=[0;u]\text{ ou }I=[u;0],\\\text{qualquer sejam }u\text{ de }\mathbb{R}\\ \text{ou por que }\phi_1:t\mapsto\sin(t) \text{ é integrável em }\mathbb{R}\text{ e }\phi_2:t\mapsto t^2 \text{ é integrável em }\mathbb{R}\text{ e }\phi_2(\mathbb{R})\subset\mathcal{D}_{\phi_1},\text{ e então }\phi_1\!\!\circ\!\phi_2\text{ é integravel em }\mathbb{R}[/tex3]

[tex3]G\text{ é derivável em }\mathbb{R}\implies G \text{ é contínua em }\mathbb{R}\implies G\text{ é integrável em }\mathbb{R}\implies F\text{, primitiva de }G \text{, existe e }\mathcal{D}_F=\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G\text{ é derivável em }\mathbb{R}\implies G \text{ é contínua em }\mathbb{R}\implies G\text{ é integrável em }\mathbb{R}\implies F\text{, primitiva de }G \text{, existe e }\mathcal{D}_F=\mathbb{R}[/tex3]