Ensino Superior

15 Jul 2021, 21:59

Olá a todos,
Estou com duvida sobre essa resolução, não estou conseguindo realizá-la, alguém sabe me dizer passo a passo para eu achar a resposta ?
Dês de já agradeço a todos ...

Uma função definida em um intervalo I satisfaz à Condição de Lipschitz se pudermos encontrar duas constantes C e α (alpha) tais que, dados x1,x2∈ I, temos que

|f(x₁)−f(x₂)|≤C|x₁−x₂|^α

Mostre que toda função quadrática satisfaz a esta condição em um intervalo limitado [a,b].

No caso a resolução que me foi passada é |f(x₁)−f(x₁)|≤C|x₁−x₂|^α, mais creio que está incorreta.

Mensagem não lidapor **deOliveira** » 17 Jul 2021, 12:42 · Mensagem não lida por **deOliveira** » 17 Jul 2021, 12:42

Podemos mostrar um resultado mais geral:
Seja [tex3]f:[a,b]\to\mathbb R[/tex3] função [tex3]\mathcal C^1[/tex3] . Então [tex3]f[/tex3] satisfaz a condição de Lipschitz em [tex3][a,b][/tex3] .

Demonstração: Como [tex3]f[/tex3] é [tex3]C^1[/tex3] temos que [tex3]f'(x)[/tex3] existe e é contínua. Como [tex3]f'[/tex3] está definida em um intervalo limitado e fechado, temos que existe [tex3]M\in\mathbb R[/tex3] tal que [tex3]|f'(x)|\le M[/tex3] para todo [tex3]x\in [a,b][/tex3] .
Pelo Teorema do Valor Médio, temos que para todo [tex3]a\le x\le y\le b[/tex3] existe [tex3]c\in(a,b)[/tex3] tal que
[tex3]|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|\le M|x-y|[/tex3]
O que conclui a demonstração.

Então como, em particular uma função quadrática é [tex3]\mathcal C^1[/tex3] , temos que ela satisfaz a condição em um intervalo limitado.

Espero ter ajudado.

Ensino Superior ⇒ Condição de Lipschitz Tópico resolvido

Condição de Lipschitz

Re: Condição de Lipschitz

Ensino Superior ⇒ Condição de Lipschitz Tópico resolvido

Condição de Lipschitz

Re: Condição de Lipschitz

Entrar | Registrar