Ensino Superior ⇒ Multiplicadores de Lagrange Tópico resolvido
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deOliveira
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Dez 2019
06
22:01
Re: Multiplicadores de Lagrange
[tex3]f(x,y)=3x+y [tex3]\rightarrow \bigtriangledown f(x,y)=(3,1)[/tex3]
Seja [tex3]g(x,y)=x^2-2y^2-1[/tex3] , então [tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(2x,-4y)[/tex3]
[tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(0,0)[/tex3] se, e somente se, [tex3](x,y)=(0,0)[/tex3] , mas [tex3]g(0,0)=1\neq0 [/tex3] então para todo [tex3](x,y)\in\mathbb{R}^2:g(x,y)=0 [/tex3] temos que [tex3]\bigtriangledown g\neq 0[/tex3] então podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Procuramos os pontos em que {[tex3]\bigtriangledown f(x,y), \bigtriangledown g(x,y)[/tex3] } é LD e [tex3]g(x,y)=0[/tex3]
Então : [tex3]\det\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2x & -4y \\
\end{pmatrix}=0\rightarrow 2x+12y=0\rightarrow x+6y=0 [/tex3]
Então temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x+6y=0\rightarrow x=-6y \\
x^2-2y^2-1=0
\end{cases}[/tex3]
Então: [tex3]36y^2-2y^2=1\rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{34}}[/tex3]
Então temos como pontos candidatos [tex3](\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})[/tex3] e [tex3](\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})[/tex3]
[tex3]f(\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})=\frac{-17}{\sqrt{34}} [/tex3] mínimo
[tex3]f(\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})=\frac{17}{\sqrt{34}} [/tex3] máximo
Seja [tex3]g(x,y)=x^2-2y^2-1[/tex3] , então [tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(2x,-4y)[/tex3]
[tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(0,0)[/tex3] se, e somente se, [tex3](x,y)=(0,0)[/tex3] , mas [tex3]g(0,0)=1\neq0 [/tex3] então para todo [tex3](x,y)\in\mathbb{R}^2:g(x,y)=0 [/tex3] temos que [tex3]\bigtriangledown g\neq 0[/tex3] então podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Procuramos os pontos em que {[tex3]\bigtriangledown f(x,y), \bigtriangledown g(x,y)[/tex3] } é LD e [tex3]g(x,y)=0[/tex3]
Então : [tex3]\det\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2x & -4y \\
\end{pmatrix}=0\rightarrow 2x+12y=0\rightarrow x+6y=0 [/tex3]
Então temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x+6y=0\rightarrow x=-6y \\
x^2-2y^2-1=0
\end{cases}[/tex3]
Então: [tex3]36y^2-2y^2=1\rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{34}}[/tex3]
Então temos como pontos candidatos [tex3](\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})[/tex3] e [tex3](\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})[/tex3]
[tex3]f(\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})=\frac{-17}{\sqrt{34}} [/tex3] mínimo
[tex3]f(\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})=\frac{17}{\sqrt{34}} [/tex3] máximo
Saudações.
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thetruth
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Dez 2019
07
16:23
Re: Multiplicadores de Lagrange
deOliveira escreveu: ↑06 Dez 2019, 22:01 [tex3]f(x,y)=3x+y [tex3]\rightarrow \bigtriangledown f(x,y)=(3,1)[/tex3]
Seja [tex3]g(x,y)=x^2-2y^2-1[/tex3] , então [tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(2x,-4y)[/tex3]
[tex3]\bigtriangledown g(x,y)=(0,0)[/tex3] se, e somente se, [tex3](x,y)=(0,0)[/tex3] , mas [tex3]g(0,0)=1\neq0 [/tex3] então para todo [tex3](x,y)\in\mathbb{R}^2:g(x,y)=0 [/tex3] temos que [tex3]\bigtriangledown g\neq 0[/tex3] então podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Procuramos os pontos em que {[tex3]\bigtriangledown f(x,y), \bigtriangledown g(x,y)[/tex3] } é LD e [tex3]g(x,y)=0[/tex3]
Então : [tex3]\det\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
2x & -4y \\
\end{pmatrix}=0\rightarrow 2x+12y=0\rightarrow x+6y=0 [/tex3]
Então temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x+6y=0\rightarrow x=-6y \\
x^2-2y^2-1=0
\end{cases}[/tex3]
Então: [tex3]36y^2-2y^2=1\rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{34}}[/tex3]
Então temos como pontos candidatos [tex3](\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})[/tex3] e [tex3](\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})[/tex3]
[tex3]f(\frac{-6}{\sqrt{34}},\frac{1}{\sqrt{34}})=\frac{-17}{\sqrt{34}} [/tex3] mínimo
[tex3]f(\frac{6}{\sqrt{34}},\frac{-1}{\sqrt{34}})=\frac{17}{\sqrt{34}} [/tex3] máximo
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