O decimal 0,101001000100001..., em que os 1 são seguidos sucessivamente por blocos. cada vez maiores de 0, parece não ser periódico e portanto define um número irracional. Construa um argumento que converta essa impressão em certeza. Sugestão: suponha que o decimal seja periódico.
Se alguém puder me ajudar a formular essa demonstração, agradeço desde já!
Ensino Superior ⇒ Provas da irracionalidade de um número
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FelipeMartin
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Dez 2023
30
15:16
Re: Provas da irracionalidade de um número
Um jeito difícil:
Vamos contar quantos números [tex3]0[/tex3] existem após [tex3]n[/tex3] algarismos à direita. Seja [tex3]f(n)[/tex3] esse número definido para [tex3]n \in \{ 1,2,3,...\}[/tex3] . Temos [tex3]f(1) =0, f(2) =1[/tex3] etc.
[tex3]f(n+1) = \begin{cases}
f(n)+1, \text{se o n-ésimo +1 algarismo for 0} \\
f(n), \text{se o n-ésimo+1 algarismo for 1}
\end{cases} [/tex3]
quais algarismos são [tex3]1[/tex3] ? [tex3]1,3,6,10,15,...[/tex3] , os números triangulares, da forma [tex3]\frac{m(m+1)}2[/tex3] para [tex3]m \in \{1,2,3,4,...\}[/tex3] . Então [tex3]f[/tex3] tem a seguinte forma: vai subindo desde [tex3]0[/tex3] em [tex3]1[/tex3] por um até se repetir quando [tex3]n[/tex3] for um número triangular positivo.
De forma geral, [tex3]f(n) = n - g(n)[/tex3] sendo [tex3]g(n)[/tex3] o número de números triangulares positivos entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]n[/tex3] :
[tex3]f(n) = n - \lfloor \frac12(\sqrt{8n+1} -1) \rfloor[/tex3]
Suponha que exista um período com [tex3]N[/tex3] dígitos:
[tex3]0.\overline{101001...0}[/tex3] com [tex3]N[/tex3] dígitos, olhemos pra segunda célula dessa repetição:
[tex3]0.101001...0\overline{101001...0}[/tex3]
Em havendo periodicidade, deveríamos ter a mesma quantidade de zeros entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]N[/tex3] e entre [tex3]N+1[/tex3] e [tex3]2N[/tex3] , ou seja:
[tex3]f(2N) - f(N) = f(N) \implies f(2N) = 2f(N)[/tex3]
vejamos:
[tex3]2N - \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2N - 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
[tex3] \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
cujas únicas soluções é [tex3]N = 2[/tex3] , mas, claramente esse número não tem período [tex3]0.10[/tex3] .
Prova: sabemos que [tex3]\lfloor y \rfloor =2\lfloor x \rfloor \implies |\frac y2 -x | <1[/tex3] , então:
[tex3]|\frac14(\sqrt{16N+1} -1) - \frac12(\sqrt{8N+1} -1) |<1[/tex3]
resolvendo isso, você vai ter [tex3]N <\frac{9+5\sqrt3}2 < 9[/tex3]
Basta checar que nenhum dos primeiros números da forma: [tex3]0.1,0.10,0.101,0.1010,...[/tex3] não servem como período.
Vamos contar quantos números [tex3]0[/tex3] existem após [tex3]n[/tex3] algarismos à direita. Seja [tex3]f(n)[/tex3] esse número definido para [tex3]n \in \{ 1,2,3,...\}[/tex3] . Temos [tex3]f(1) =0, f(2) =1[/tex3] etc.
[tex3]f(n+1) = \begin{cases}
f(n)+1, \text{se o n-ésimo +1 algarismo for 0} \\
f(n), \text{se o n-ésimo+1 algarismo for 1}
\end{cases} [/tex3]
quais algarismos são [tex3]1[/tex3] ? [tex3]1,3,6,10,15,...[/tex3] , os números triangulares, da forma [tex3]\frac{m(m+1)}2[/tex3] para [tex3]m \in \{1,2,3,4,...\}[/tex3] . Então [tex3]f[/tex3] tem a seguinte forma: vai subindo desde [tex3]0[/tex3] em [tex3]1[/tex3] por um até se repetir quando [tex3]n[/tex3] for um número triangular positivo.
De forma geral, [tex3]f(n) = n - g(n)[/tex3] sendo [tex3]g(n)[/tex3] o número de números triangulares positivos entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]n[/tex3] :
[tex3]f(n) = n - \lfloor \frac12(\sqrt{8n+1} -1) \rfloor[/tex3]
Suponha que exista um período com [tex3]N[/tex3] dígitos:
[tex3]0.\overline{101001...0}[/tex3] com [tex3]N[/tex3] dígitos, olhemos pra segunda célula dessa repetição:
[tex3]0.101001...0\overline{101001...0}[/tex3]
Em havendo periodicidade, deveríamos ter a mesma quantidade de zeros entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]N[/tex3] e entre [tex3]N+1[/tex3] e [tex3]2N[/tex3] , ou seja:
[tex3]f(2N) - f(N) = f(N) \implies f(2N) = 2f(N)[/tex3]
vejamos:
[tex3]2N - \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2N - 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
[tex3] \lfloor \frac12(\sqrt{16N+1} -1) \rfloor = 2 \lfloor \frac12(\sqrt{8N+1} -1) \rfloor[/tex3]
cujas únicas soluções é [tex3]N = 2[/tex3] , mas, claramente esse número não tem período [tex3]0.10[/tex3] .
Prova: sabemos que [tex3]\lfloor y \rfloor =2\lfloor x \rfloor \implies |\frac y2 -x | <1[/tex3] , então:
[tex3]|\frac14(\sqrt{16N+1} -1) - \frac12(\sqrt{8N+1} -1) |<1[/tex3]
resolvendo isso, você vai ter [tex3]N <\frac{9+5\sqrt3}2 < 9[/tex3]
Basta checar que nenhum dos primeiros números da forma: [tex3]0.1,0.10,0.101,0.1010,...[/tex3] não servem como período.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 30 Dez 2023, 16:21, em um total de 4 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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FelipeMartin
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Dez 2023
30
16:19
Re: Provas da irracionalidade de um número
dei uma editada, acho que agora está ok. Veja se você concorda.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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