Ensino Superior ⇒ Congruência modular Tópico resolvido

[Felipe22]

Qual o resto da divisão de 2^7^2002 por 352 ?

Resp: 160

Tentei pelo teorema chinês e Euler mas não consegui.
Obg

[παθμ]

Felipe22,

[tex3]352=2^5 \times 11.[/tex3]

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[tex3]352=2^5 \times 11.[/tex3]

[tex3]\frac{2^{7^{2002}}}{352}=\frac{2^{7^{2002}-5}}{11}.[/tex3]

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[tex3]\frac{2^{7^{2002}}}{352}=\frac{2^{7^{2002}-5}}{11}.[/tex3]

Temos [tex3]7^4 \equiv 1 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2000} \equiv 1 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2002} \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2002}-5 \equiv 4 \pmod{10}.[/tex3]

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[tex3]7^4 \equiv 1 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2000} \equiv 1 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2002} \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10} \Longrightarrow 7^{2002}-5 \equiv 4 \pmod{10}.[/tex3]

Então [tex3]2^{7^{2002}-5}=2^{10n+4}=2^{10n} \times 16.[/tex3]

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[tex3]2^{7^{2002}-5}=2^{10n+4}=2^{10n} \times 16.[/tex3]

Mas, pelo teorema de Euler, [tex3]2^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Longrightarrow 2^{7^{2002}-5} \equiv 16 \equiv 5 \pmod{11}.[/tex3]

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[tex3]2^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Longrightarrow 2^{7^{2002}-5} \equiv 16 \equiv 5 \pmod{11}.[/tex3]

Então [tex3]2^{7^{2002}-5}=11m+5.[/tex3]

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[tex3]2^{7^{2002}-5}=11m+5.[/tex3]

Multiplicando os dois lados da equação por [tex3]2^5,[/tex3]

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[tex3]2^5,[/tex3]

concluímos o problema:

[tex3]2^{7^{2002}}=352m+\boxed{160}[/tex3]

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[tex3]2^{7^{2002}}=352m+\boxed{160}[/tex3]