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Mensagem não lidapor **samra** » 15 Abr 2012, 10:48 · Mensagem não lida por **samra** » 15 Abr 2012, 10:48

Segue o enunciado da qestão:

Seja $f(x)=\sqrt[3]{x}$ .
a) Se $a \neq 0$ , encontre $f '(a)$ (usando limite) $f'(a)=\frac{f(x+h)-f(a)}{h}$

b) Mostre que $f '(0)$ não existe.

c) Mostre que $y=\sqrt[3]{x}$ tem uma tangente vertical em $(0,0)$ .

A letra a eu só conseguir derivar usando a regra do produto, a qual não usa limites.
Mas preciso a resolver usando limite, com a fórmula acima. Mas não sei como fazê-lo.

A letra b eu substitui o x por 0, mas dá divisão por zero. Ai justifiquei colocando que zero não está no dominio de $f(x)$ mas acho que a demostração deve ser feita de outro jeito, não sei.

A letra c não tenho ideia de como se faz.

Então, teria como alguém me ajudar a fazê-las? é importante ....

beeijos pessoal, intée mais!

Mensagem não lidapor **Natan** » 15 Abr 2012, 20:24 · Mensagem não lida por **Natan** » 15 Abr 2012, 20:24

Olá tudo bem?

Solução (a):

[tex3]f^'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{a+h}-\sqrt[3]{a}}{h}[/tex3] fazemos a mudança: [tex3]\left{ t^3=a+h \\ h \to 0\, \Right\, t \to \sqrt[3]{a}[/tex3]

daí:

[tex3]f^'(a)=\lim_{t \to \sqrt[3]{a}} \frac{t-\sqrt[3]{a}}{t^3-a}=\lim_{t \to \sqrt[3]{a}} \frac{\cancel{t-\sqrt[3]{a}}}{(\cancel{t-\sqrt[3]{a}})(t^2+a^{\frac{1}{3}}t+a^{\frac{2}{3}})}=\frac{1}{3a^{\frac{2}{3}}}.[/tex3]

Solução (b):

Dizer que não existe [tex3]f^'(0)[/tex3] significa que o limite o limite [tex3]\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}[/tex3] não existe. De fato:

[tex3]f^'(0)=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\lim_{h \to 0} h^{-\frac{2}{3}}=+\infty[/tex3]

Solução (c):

Veja que o coeficiente angular de uma reta é o nome dado a tangente do ângulo que tal reta faz com o eixo x no sentido positivo. Porém se tal reta for vertical esse ângulo será de 90° e como sabemos não existe tg 90°. Lembre-se que a derivada num ponto nos dá justamente o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto, porém como a derivada de f não existe em zero singnifica que a reta tangente a f quando x=0 não possui coeficiente angular e portanto ela é vertical.

Mensagem não lidapor **Swiichi** » 15 Abr 2012, 21:07 · Mensagem não lida por **Swiichi** » 15 Abr 2012, 21:07

Natan, você poderia dizer porque [tex3]\lim_{h\right 0}h^{-\frac{2}{3}} = +\infty[/tex3] ?

Mensagem não lidapor **Natan** » 19 Abr 2012, 02:07 · Mensagem não lida por **Natan** » 19 Abr 2012, 02:07

Observe que:

[tex3]\lim_{h\right 0}h^{-\frac{2}{3}} = \lim_{h\right 0}\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}}=\lim_{h\right 0}\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}[/tex3]

veja que quando h se aproxima de zero, o seu quadrado também se aproxima juntamente com sua raíz cúbica, fazendo com que o quociente se torne arbitrariamente grande, ou seja, infinito.

Mensagem não lidapor **samra** » 21 Abr 2012, 09:34 · Mensagem não lida por **samra** » 21 Abr 2012, 09:34

Muito Obrigada Natan! Perfeita sua explicação. (:

Beeijos,

att.

Sammy

Mensagem não lidapor **samra** » 22 Abr 2012, 13:11 · Mensagem não lida por **samra** » 22 Abr 2012, 13:11

Natan, essa fatoração que você fez na letra a, qual método vc usou para fazê-la?
nao sei mto bem como se faz fatoração de raizes cujo radical é acima de 2. [nesse caso 3]

Mensagem não lidapor **Natan** » 22 Abr 2012, 23:56 · Mensagem não lida por **Natan** » 22 Abr 2012, 23:56

Olá tudo bem?

então acredito que a fatoração [tex3]x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)[/tex3] vc conheça né? oq fiz ali foi adaptar a expressão que temos a essa. O que temos é [tex3]t^3-a[/tex3] certo? ai vc vai dizer: mais o segundo termo não está ao cubo né? para resolver isso podemos escrever equivalentemente [tex3]t^3-(\sqrt[3]{a})^3[/tex3] agora aplicamos a fatoração acima para [tex3]x=t[/tex3] e [tex3]y=\sqrt[3]{a}.[/tex3] Ai fica:

[tex3]t^3-a=t^3-(\sqrt[3]{a})^3=(t-a^{\frac{1}{3}})(t^2+a^{\frac{1}{3}}.t+(a^{\frac{1}{3}})^2)[/tex3]

saco? foi isso o que eu fiz, qualquer coisa fala tá? bons estudos!

Mensagem não lidapor **samra** » 23 Abr 2012, 10:22 · Mensagem não lida por **samra** » 23 Abr 2012, 10:22

legaal cara
intendii direitiinho!
brigadãao ta? (:

beijus :*
Sammy

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