Concursos Públicos ⇒ Funções trigonométricas Tópico resolvido

[gabrieldsg]

(sen x)^3 = sen x / 2 , quais são as soluçoes?

[παθμ]

gabrieldsg,

[tex3]\sin^3(x)=\frac{\sin(x)}{2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sin^3(x)=\frac{\sin(x)}{2}.[/tex3]

Primeiramente, há a possibilidade [tex3]\sin(x)=0,[/tex3]

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[tex3]\sin(x)=0,[/tex3]

o que implica [tex3]\boxed{x=\pm n\pi},[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\pm n\pi},[/tex3]

onde [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

é um inteiro não-negativo. Esse é o primeiro conjunto de soluções.

Se [tex3]\sin(x) \neq 0,[/tex3]

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[tex3]\sin(x) \neq 0,[/tex3]

temos [tex3]\sin^2(x)=\frac{1}{2} \Longrightarrow \sin(x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

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[tex3]\sin^2(x)=\frac{1}{2} \Longrightarrow \sin(x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

No caso em que [tex3]\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex3]

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[tex3]\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex3]

devemos ter [tex3]\boxed{x =\frac{\pi}{4} \pm 2n \pi}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x =\frac{\pi}{4} \pm 2n \pi}[/tex3]

(1) ou [tex3]\boxed{x= \frac{3\pi}{4} \pm 2n\pi}.[/tex3]

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[tex3]\boxed{x= \frac{3\pi}{4} \pm 2n\pi}.[/tex3]

(2)

No caso em que [tex3]\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex3]

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[tex3]\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex3]

devemos ter [tex3]\boxed{x=\frac{5\pi}{4} \pm 2n\pi}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\frac{5\pi}{4} \pm 2n\pi}[/tex3]

(3) ou [tex3]\boxed{x=\frac{7\pi}{4} \pm 2n\pi}.[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\frac{7\pi}{4} \pm 2n\pi}.[/tex3]

(4)

Esses são todos os conjuntos de soluções.

Mas note que os conjuntos (1) e (3) podem ser simplificados em um único conjunto [tex3]\boxed{x=\frac{\pi}{4} \pm n\pi},[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\frac{\pi}{4} \pm n\pi},[/tex3]

e (2) e (4) podem ser simplificados em [tex3]\boxed{x=\frac{3\pi}{4} \pm n\pi}.[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=\frac{3\pi}{4} \pm n\pi}.[/tex3]

[gabrieldsg]

mesmo sendo seno ao cubo?

[παθμ]

mesmo sendo seno ao cubo?

?

Explique melhor sua dúvida.

[gabrieldsg]

pq no caso ele pediu na igualdade (sen x)^3, e na solução você resolveu:
= 0 , ok
depois vc fez para sen^2

A resposta é que contem 7 soluções

[παθμ]

A resposta é que contem 7 soluções

gabrieldsg, se a resposta é que contém 7 soluções, então a questão aparentemente está querendo as soluções no intervalo [0, 2π].

Temos primeiramente a possibilidade [tex3]x=\pm n\pi,[/tex3]

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[tex3]x=\pm n\pi,[/tex3]

daí as soluções permitidas aqui são x=0, x=π, x=2π

Aí depois temos o conjunto [tex3]x=\frac{\pi}{4} \pm n\pi,[/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi}{4} \pm n\pi,[/tex3]

havendo então as soluções x=π/4, x=5π/4.

Finalmente, o conjunto [tex3]x=\frac{3\pi}{4} \pm n\pi[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3\pi}{4} \pm n\pi[/tex3]

nos dá as soluções x=3π/4 e x=7π/4.

Totalizando 7 soluções.

Mas você tem alguma dúvida quanto as passos da solução?

[gabrieldsg]

Acho que entendi, Voce jogou o sen x para o outro lado da igualdade.

Muito obrigado.

[παθμ]

Muito obrigado.

De nada. Peço que marque a minha solução como aceita.