Ensino Fundamental ⇒ Triângulo circunscrito. Tópico resolvido

[geobson]

Na figura DE//AC, DE=3, BE=3, BS=5, calcular AC , se Q, R, S e T são pontos de tangência.
A)6
B)7,5
C)8
D)10
E)12

Resposta

---

B

[FelipeMartin]

os dados estão certos? BE=DE mesmo?

- prove que [tex3]BS[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BS[/tex3]

é igual ao semi-perímetro do [tex3]\triangle BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BDE[/tex3]

e com isso, calcule [tex3]BD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BD[/tex3]

- use a fórmula do raio da exinscrita pra encontrar o raio do incírculo.

- calcule o raio da inscrita ao [tex3]\triangle BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BDE[/tex3]

- use a semelhança entre os dois triângulos com a relação entre os raios que você calculou.

[geobson]

dados estão certos? BE=DE mesmo?

Desta vez estão sim.

[geobson]

os dados estão certos? BE=DE mesmo?

- prove que [tex3]BS[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BS[/tex3]

é igual ao semi-perímetro do [tex3]\triangle BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BDE[/tex3]

e com isso, calcule [tex3]BD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BD[/tex3]

- use a fórmula do raio da exinscrita pra encontrar o raio do incírculo.

- calcule o raio da inscrita ao [tex3]\triangle BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BDE[/tex3]

- use a semelhança entre os dois triângulos com a relação entre os raios que você calculou.

Obrigado pelo bizu.

[rodBR]

Seguindo as instruções...

prove que [tex3]BS[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BS[/tex3]

é igual ao semi-perímetro do [tex3]△BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]△BDE[/tex3]

Semi-perimetro do [tex3]∆BDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∆BDE[/tex3]

:
[tex3]p=\frac{EB+BD+DE}{2}\\
p=\frac{EB+BD+DT+TE}{2}\\
p=\frac{BD+DS+BE+EQ}{2}\\
p=\frac{BS+BQ}{2} \ \text{ pelo Teorema dos bicos: } BS=BQ:\\
p=\frac{2BS}{2}\\
\boxed{\boxed{p=BS}}_{\ \blacksquare}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{EB+BD+DE}{2}\\
p=\frac{EB+BD+DT+TE}{2}\\
p=\frac{BD+DS+BE+EQ}{2}\\
p=\frac{BS+BQ}{2} \ \text{ pelo Teorema dos bicos: } BS=BQ:\\
p=\frac{2BS}{2}\\
\boxed{\boxed{p=BS}}_{\ \blacksquare}[/tex3]

e com isso, calcule [tex3]BD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BD[/tex3]

Segmento [tex3]BD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BD[/tex3]

:
[tex3]BS=p\\
5=\frac{3+3+BD}{2}\therefore \boxed{\boxed{BD=4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BS=p\\
5=\frac{3+3+BD}{2}\therefore \boxed{\boxed{BD=4}}[/tex3]

use a fórmula do raio da exinscrita pra encontrar o raio do incírculo

Sendo [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

o raio da exinscrita e [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

o raio da inscrita do [tex3]∆ BDE[/tex3]

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[tex3]∆ BDE[/tex3]

, área do [tex3]\Delta BDE[/tex3]

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[tex3]\Delta BDE[/tex3]

:
[tex3][BDE]=(p-DE)\cdot R\\
p\cdot r=(5-3)\cdot R\\
5\cdot r=2R\\
\boxed{\boxed{\frac{R}{r}=\frac52}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][BDE]=(p-DE)\cdot R\\
p\cdot r=(5-3)\cdot R\\
5\cdot r=2R\\
\boxed{\boxed{\frac{R}{r}=\frac52}}[/tex3]

use a semelhança entre os dois triângulos com a relação entre os raios que você calculou

Como [tex3]DE\parallel AC\implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DE\parallel AC\implies[/tex3]

[tex3]∆BDE\sim∆BAC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]∆BDE\sim∆BAC[/tex3]

:
[tex3]\frac{R}{r}=\frac{AC}{DE}\\
\frac52=\frac{AC}{3}\\
\boxed{\boxed{AC=7,5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R}{r}=\frac{AC}{DE}\\
\frac52=\frac{AC}{3}\\
\boxed{\boxed{AC=7,5}}[/tex3]

[geobson]

rodBR, obrigado .