Ensino Médio ⇒ Soma das potências semelhantes de uma equação do 2° grau (somas de newton) Tópico resolvido

[MatheusCNIME]

Sejam r₁ e r₂ as raízes de [tex3]x^{2}[/tex3]-6x-2=0, com r₁>r₂. Se x_n = r₁ ^n - r₂^n , se a= x₁₀-2x₈ e b= 2x₉, calcule [tex3]\frac{a}{b}[/tex3]

Achei um resultado muito grande que não condiz com o gabarito...
alguém poderia me ajudar?

Resposta

---

3

[careca]

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}[/tex3]

Da definição da soma de newton para o polinômio dado:

[tex3]x_k-6x_{k-1}-2x_{k-2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_k-6x_{k-1}-2x_{k-2}=0[/tex3]

Note que:

[tex3]x_{10} -6x_{9}-2x_8 = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{10} -6x_{9}-2x_8 = 0 [/tex3]

[tex3]x_{10} -2x_8 = 6x_{9} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{10} -2x_8 = 6x_{9} [/tex3]

Note que interessante, podemos substituir essa relação para o numerador da pergunta

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}=\frac{6x_9}{2x_9}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}=\frac{6x_9}{2x_9}=3[/tex3]

[MatheusCNIME]

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}[/tex3]

Da definição da soma de newton para o polinômio dado:

[tex3]x_k-6x_{k-1}-2x_{k-2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_k-6x_{k-1}-2x_{k-2}=0[/tex3]

Note que:

[tex3]x_{10} -6x_{9}-2x_8 = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{10} -6x_{9}-2x_8 = 0 [/tex3]

[tex3]x_{10} -2x_8 = 6x_{9} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{10} -2x_8 = 6x_{9} [/tex3]

Note que interessante, podemos substituir essa relação para o numerador da pergunta

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}=\frac{6x_9}{2x_9}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_{10} -2x_8}{2x_9}=\frac{6x_9}{2x_9}=3[/tex3]

Uau!! Genial. Muito obrigado!