Determinar o valor de:
[tex3]E=\cos^{11}\left(\frac{\pi}{9}\right)+\cos^{11}\left(\frac{5\pi}{9}\right)+\cos^{11}\left(\frac{7\pi}{9}\right)[/tex3]
a) [tex3]\frac{1023}{1024}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1023}{2048}[/tex3]
c) [tex3]\frac{255}{256}[/tex3]
d) [tex3]\frac{17}{2002}[/tex3]
e) [tex3]\frac{231}{512}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Expressão Tópico resolvido
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Ittalo25
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Abr 2021
05
22:16
Re: Trigonometria - Expressão
O procedimento padrão é montar o polinômio com essas raízes:
[tex3]E=\cos^{11}(20^o)+\cos^{11}(100^o)+\cos^{11}(140^o)[/tex3]
[tex3]E=\cos^{11}(20^o)-\cos^{11}(80^o)-\cos^{11}(40^o)[/tex3]
E então:
Soma:
[tex3]\cos(20^o)-\cos(80^o)-\cos(40^o) = -2\cdot sen\left(\frac{20^o+40^o}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{20^o-40^2}{2}\right)-cos(80^o)=[/tex3]
[tex3]-2\cdot sen(30^o)\cdot sen(-10)-cos(80^o)= sen(10)-cos(80^o) = \boxed{0}[/tex3]
Produto:
[tex3]\cos(20^o) \cdot \cos(80^o) \cdot \cos(40^o) = \frac{\sen(40^o) \cdot \cos(80^o) \cdot \cos(40^o)}{2sen(20^o)} =[/tex3]
[tex3]\frac{\sen(80^o) \cdot \cos(80^o) }{4sen(20^o)} = \frac{\sen(160^o) }{8sen(20^o)} = \boxed{\frac{1}{8}}[/tex3]
Soma dos produtos 2 a 2:
[tex3]-cos(20^o) \cdot cos(80^o) - cos(20^o)\cdot cos(40^o) + cos(40^o) \cdot cos(80^o) = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)-cos(100^o)-cos(20^o)-cos(60^o)+cos(40^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)-cos(100^o)-cos(80^o)-cos(60^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)+cos(80^o)-cos(80^o)-cos(60^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\boxed{-\frac{3}{4}} [/tex3]
Polinômio:
[tex3]8x^3-6x-1 = 0[/tex3]
Sendo as sua raízes a,b e c:
[tex3]a+b+c=0 [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2 = -2\cdot (ab+ac+bc) [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2 = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]8(a^3+b^3+c^3) = 6(a+b+c)+1+1+1[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 = \frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]8x^3= 6x+1[/tex3]
[tex3]8x^5= 6x^3+x^2[/tex3]
[tex3]8(a^5+b^5+c^5)= 6\cdot \frac{3}{8}+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]a^5+b^5+c^5= \frac{15}{32}[/tex3]
[tex3]8x^4= 6x^2+x[/tex3]
[tex3]8x^4= 6 \cdot \frac{3}{2}+0[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+c^4= \frac{9}{8}[/tex3]
[tex3]8x^6= 6x^4+x^3[/tex3]
[tex3]8x^6= 6\cdot \frac{9}{8}+\frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]x^6= \frac{57}{64}[/tex3]
[tex3]8x^7= 6x^5+x^4[/tex3]
[tex3]8x^7= \frac{90}{32}+\frac{9}{8}[/tex3]
[tex3]a^7+b^7+c^7 = \frac{63}{128} [/tex3]
[tex3]8x^8= 6x^6+x^5[/tex3]
[tex3]8x^8= \frac{342}{64}+\frac{15}{32}[/tex3]
[tex3]a^8+b^8+c^8 = \frac{93}{128} [/tex3]
[tex3]8x^9= 6x^7+x^6[/tex3]
[tex3]8x^9= \frac{378}{128} +\frac{57}{64}[/tex3]
[tex3]a^9+b^9+c^9 = \frac{123}{256} [/tex3]
[tex3]8x^{10}= 6x^8+x^7[/tex3]
[tex3]8x^{10}= \frac{558}{128}+ \frac{63}{128}[/tex3]
[tex3]a^{10}+b^{10}+c^{10} = \frac{621}{1024} [/tex3]
[tex3]8x^{11}= 6x^9+x^8[/tex3]
[tex3]\boxed{a^{11}+b^{11}+c^{11} = \frac{231}{512}}[/tex3]
[tex3]E=\cos^{11}(20^o)+\cos^{11}(100^o)+\cos^{11}(140^o)[/tex3]
[tex3]E=\cos^{11}(20^o)-\cos^{11}(80^o)-\cos^{11}(40^o)[/tex3]
E então:
Soma:
[tex3]\cos(20^o)-\cos(80^o)-\cos(40^o) = -2\cdot sen\left(\frac{20^o+40^o}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{20^o-40^2}{2}\right)-cos(80^o)=[/tex3]
[tex3]-2\cdot sen(30^o)\cdot sen(-10)-cos(80^o)= sen(10)-cos(80^o) = \boxed{0}[/tex3]
Produto:
[tex3]\cos(20^o) \cdot \cos(80^o) \cdot \cos(40^o) = \frac{\sen(40^o) \cdot \cos(80^o) \cdot \cos(40^o)}{2sen(20^o)} =[/tex3]
[tex3]\frac{\sen(80^o) \cdot \cos(80^o) }{4sen(20^o)} = \frac{\sen(160^o) }{8sen(20^o)} = \boxed{\frac{1}{8}}[/tex3]
Soma dos produtos 2 a 2:
[tex3]-cos(20^o) \cdot cos(80^o) - cos(20^o)\cdot cos(40^o) + cos(40^o) \cdot cos(80^o) = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)-cos(100^o)-cos(20^o)-cos(60^o)+cos(40^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)-cos(100^o)-cos(80^o)-cos(60^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\frac{-cos(60^o)+cos(80^o)-cos(80^o)-cos(60^o)+cos(120^o)}{2} = [/tex3]
[tex3]\boxed{-\frac{3}{4}} [/tex3]
Polinômio:
[tex3]8x^3-6x-1 = 0[/tex3]
Sendo as sua raízes a,b e c:
Resposta
[tex3]a+b+c=0 [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2 = -2\cdot (ab+ac+bc) [/tex3]
[tex3]a^2+b^2+c^2 = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]8(a^3+b^3+c^3) = 6(a+b+c)+1+1+1[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3 = \frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]8x^3= 6x+1[/tex3]
[tex3]8x^5= 6x^3+x^2[/tex3]
[tex3]8(a^5+b^5+c^5)= 6\cdot \frac{3}{8}+\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]a^5+b^5+c^5= \frac{15}{32}[/tex3]
[tex3]8x^4= 6x^2+x[/tex3]
[tex3]8x^4= 6 \cdot \frac{3}{2}+0[/tex3]
[tex3]a^4+b^4+c^4= \frac{9}{8}[/tex3]
[tex3]8x^6= 6x^4+x^3[/tex3]
[tex3]8x^6= 6\cdot \frac{9}{8}+\frac{3}{8}[/tex3]
[tex3]x^6= \frac{57}{64}[/tex3]
[tex3]8x^7= 6x^5+x^4[/tex3]
[tex3]8x^7= \frac{90}{32}+\frac{9}{8}[/tex3]
[tex3]a^7+b^7+c^7 = \frac{63}{128} [/tex3]
[tex3]8x^8= 6x^6+x^5[/tex3]
[tex3]8x^8= \frac{342}{64}+\frac{15}{32}[/tex3]
[tex3]a^8+b^8+c^8 = \frac{93}{128} [/tex3]
[tex3]8x^9= 6x^7+x^6[/tex3]
[tex3]8x^9= \frac{378}{128} +\frac{57}{64}[/tex3]
[tex3]a^9+b^9+c^9 = \frac{123}{256} [/tex3]
[tex3]8x^{10}= 6x^8+x^7[/tex3]
[tex3]8x^{10}= \frac{558}{128}+ \frac{63}{128}[/tex3]
[tex3]a^{10}+b^{10}+c^{10} = \frac{621}{1024} [/tex3]
[tex3]8x^{11}= 6x^9+x^8[/tex3]
[tex3]\boxed{a^{11}+b^{11}+c^{11} = \frac{231}{512}}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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