Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[Fibonacci13]

(FAAP) Se P(x) = x^3 + ax + b com A e B constantes e Q(x)= x^2 - 2x + 1, determine os valores de A e B para que a divisão de P(x) por Q(x) seja exata.

[petras]

Fibonacci13,
[tex3]\mathsf{Dividindo~x^3+ax+b~por~x^2-2x+1~teremos~resto = ax+3x+b-2=x(a+3)+b-2 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{Dividindo~x^3+ax+b~por~x^2-2x+1~teremos~resto = ax+3x+b-2=x(a+3)+b-2 }[/tex3]

Para termos divisão exata o resto deve ser zero, portanto:
a+3 = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

a = -3
b-2 = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

b = 2

Outra maneira

Usando Briot-Rufinni, vamos dividir p(x) por (x - 1).

1 ............ 0 ............ a ............ b | 1
1 ............ 1 ........ (1 + a) ... (1 + a + b)

(1 + a + b) é o resto da divisão. Esse resto deve ser igual a zero, ou seja: (1 + a + b) = 0

Consequentemente, após a divisão, obtemos o polinômio k(x) = x² + x + (1 + a).

Usando Briot-Rufinni novamente, vamos dividir k(x) por (x - 1).

1 ............ 1 ............ (1 + a) | 1
1 ............ 2 ............ (a + 3)

(a + 3) é o resto da divisão. Esse resto deve ser igual a zero, ou seja: (a + 3) = 0

Portanto, concluímos que: a + 3 = 0 ⇒ a = -3 --: 1 + a + b = 0 ⇒ 1 - 3 + b = 0 ⇒ b = 2

[petras]

Fibonacci13,
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