O problema é esse:
Encontre o valor de [tex3]\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+...}}}}[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] .
Eu tentei da seguinte forma:
[tex3]y=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+...}}}\\y^2=x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+...}}[/tex3]
O problema surgiu mesmo na hora de substituir a segunda raiz. Então pensei em tirar a raiz quadrada do próximo número, como:
[tex3]\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+...}}}\\\sqrt{x^2+{\sqrt{x^4+x^4\sqrt{1+...}}}}\\\sqrt{x^2+\sqrt{x^4(1+\sqrt{1+...})}}\\\sqrt{x^2+x^2\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}\\x\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+..}}}\\\boxed{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+\sqrt{x^8+...}}}=x\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}[/tex3]
Como eu sempre teria de tirar a próxima raiz pra resolver a anterior, então eu fiz a suposição de que se eu extraísse a raiz de [tex3]x^n[/tex3] , logo eu teria como extrair a raiz anterior, e a anterior, e a anterior, assim sucessivamente até chegar em [tex3]x\cdot\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}[/tex3] .
Logo,
[tex3]y^2=x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+...}}\\y^2=x+x\sqrt{1+\sqrt{1+...}}\\y^2=x\left(1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}\right)\\y=\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}[/tex3]
Resolvendo a raízes de 1:
[tex3]a=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}\\a^2=1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}\\a^2=1+a[/tex3]
Essa equação tem duas soluções, mas claramente não podemos admitir raízes negativas nesse caso, então,
[tex3]\boxed{a=\frac{1+\sqrt5}{2}}[/tex3]
Substituindo de volta,
[tex3]y=\sqrt{x}\cdot a\\y=\sqrt{x}\cdot\frac{1+\sqrt5}{2}\\\boxed{y=\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt5)}{2}}[/tex3]
Consegui essa solução.
Depois eu vi que simplesmente poderia diretamente já tirar a raiz (caso esse método seja realmente válido, esse é a minha dúvida):
[tex3]y=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+...}}}\\y=\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+\sqrt{1+..}}\\y=\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt5)}{2}[/tex3]
É válido tirar as raízes dessa forma como fiz? Não sei como testar se esse método é válido.
Caso alguém tenha alguma outra ideia de como resolver, outra solução, gostaria de ver também
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