Ensino Médio ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[undefinied3]

Em um triângulo equilátero de lado

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[tex3]L[/tex3]

, escolhe-se um ponto dentro do mesmo de maneira que a distância desse ponto a cada um dos vértices mede 5, 7 e 8. Calcular

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[tex3]L[/tex3]

.

[Ittalo25]

O ponto forma 3 triângulos de lados: (5,7,L) , (5,8,L) e (7,8,L).
E obviamente a soma da área dos três é igual à área do triângulo equilátero.
Use a fórmula de Heron e monte a relação.
Vai dar muito trabalho

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[tex3]\frac{\sqrt{(12+x)(12)(5+x)(7+x)}}{4}+\frac{\sqrt{(13+x)(13)(5+x)(8+x)}}{4}+\frac{\sqrt{(15+x)(15)(7+x)(8+x)}}{4}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{3(12+x)(5+x)(7+x)}+\sqrt{13(13+x)(5+x)(8+x)}+\sqrt{15(15+x)(7+x)(8+x)}=x^2\sqrt{3}[/tex3]

Não parece nem ser humanamente possível
Deve ter alguma construção que mata o problema?

[undefinied3]

É... não há limites para os milagres da geometria plana.

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Construindo o triângulo com o ponto ligado aos vértices convenientemente como na figura, podemos pegar o triângulo de lados 5 8 L e encaixá-lo no lado do triângulo de lados 5 7 L, já que ambos tem o lado L em comum. Fazendo isso, forma-se dois segmentos de tamanho 5 que podemos fechar, formando um triângulo inicialmente isósceles. Porém, veja que o triângulo é, na verdade, equilátero, pois apesar de não conhecermos os ângulos que são formados na divisão do vértice A, sabemos que a soma é 60. Encaixar o triângulo de lados 5 8 L no triâugnlo 5 7 L mantém a soma 60, então o triângulo fechado é isósceles com ângulo 60, ou seja, equilátero. Com isso, o outro triângulo que apareceu tem laods 5 7 8 que, apesar de não muito famoso, tem um ângulo notável de 60 virado para o lado de medida 7. Isso é fácil de provar pelo teorema dos cossenos:

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[tex3]49=64+25-2.8.5.cos(\theta) \rightarrow 80cos(\theta)=40 \rightarrow cos(\theta)=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\therefore \theta = 60[/tex3]

E agora fica fácil concluir o problema, pois temos um triângulo de lados 5 8 L com um ângulo de 120. Novamente, pelo teorema dos cossenos:

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[tex3]L^2=25+64-2.5.8.cos(120) \rightarrow L^2=89+2.5.8.\frac{1}{2} \rightarrow L^2=129[/tex3]

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[tex3]\therefore L=\sqrt{129}[/tex3]