Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Identidades Tópico resolvido

[grzlrlph]

Prove que, se [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

<a<[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

e [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]

<b<[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

, então sen(a+b)<[tex3]\sen a[/tex3]

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[tex3]\sen a[/tex3]

+[tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{5}[/tex3]

[tex3]\cdot [/tex3]

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[tex3]\cdot [/tex3]

[tex3]\sen b[/tex3]

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[tex3]\sen b[/tex3]

.

[ProfLaplace]

Da fórmula da soma de arcos, temos:
[tex3]\sen{(a+b)}=\sen{a}\cdot \cos{b}+\sen{b}\cdot cos{a}[/tex3]

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[tex3]\sen{(a+b)}=\sen{a}\cdot \cos{b}+\sen{b}\cdot cos{a}[/tex3]

.
Como [tex3]0<\cos{b}<1[/tex3]

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[tex3]0<\cos{b}<1[/tex3]

, podemos multiplicar os dois dos lados dessa inequação anterior por [tex3]\sen{a}[/tex3]

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[tex3]\sen{a}[/tex3]

(que também é positivo) para chegar que [tex3]\sen{a}\cdot \cos{b}<\sen{a}[/tex3]

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[tex3]\sen{a}\cdot \cos{b}<\sen{a}[/tex3]

.
Vejamos a outra parte agora.
Do intervalo de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

, sabemos que [tex3]0<\cos{a}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{4}{5}[/tex3]

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[tex3]0<\cos{a}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{4}{5}[/tex3]

. Podemos ignorar o meio da inequação agora e multiplicar ambos os lados por [tex3]\sen{b}[/tex3]

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[tex3]\sen{b}[/tex3]

(que é positivo). Assim obtemos [tex3]\sen{b}\cdot \cos{a} < \frac{4}{5}\cdot\sen{b}[/tex3]

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[tex3]\sen{b}\cdot \cos{a} < \frac{4}{5}\cdot\sen{b}[/tex3]

.
Agora é só somar as inequações para chegar no resultado:
[tex3]\sen{(a+b)}=\sen{a}\cdot \cos{b}+\sen{b}\cdot cos{a}<\sen{a}+\frac{4}{5}\cdot\sen{b}[/tex3]

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[tex3]\sen{(a+b)}=\sen{a}\cdot \cos{b}+\sen{b}\cdot cos{a}<\sen{a}+\frac{4}{5}\cdot\sen{b}[/tex3]

.