Ensino Médio ⇒ Divisibilidade

[FISMAQUIM]

Julgue se a sentença é verdadeira ou falsa? Justifique, no caso de ser falsa:

"Seja n um número inteiro qualquer, n²(n² - 1) é sempre divisível por 12."

Resposta

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falsa

[ProfLaplace]

Teu número é igual a [tex3]n\cdot (n-1)\cdot n\cdot (n+1)[/tex3]

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[tex3]n\cdot (n-1)\cdot n\cdot (n+1)[/tex3]

. Eu separei assim para você ver que os três números da direita são inteiros consecutivos. Sempre que se tem 3 inteiros consecutivos, algum deles é múltiplo de 3, e portanto o teu número também será múltiplo de 3.

Se n é par, então [tex3]n^{2}[/tex3]

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[tex3]n^{2}[/tex3]

é múltiplo de 4. Então nesse caso o todo o número será múltiplo de 12 (pois de 3 já vimos que é, independente da paridade de n).

Se n é ímpar, então [tex3](n-1)[/tex3]

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[tex3](n-1)[/tex3]

e [tex3](n+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n+1)[/tex3]

são pares, e o todo o número será múltiplo de 4 novamente, e portanto de 12 (pois de 3 já vimos que é).

Portanto a afirmativa é verdadeira.

[FISMAQUIM]

ProfLaplace, pois é. Também tive o mesmo raciocínio, mas o gabarito do livro diz que a afirmativa é FALSA.