Ensino Médio ⇒ Fórmula da duplicação de polígonos Tópico resolvido

[Papiro8814]

Estou tendo dificuldades na compreensão da fórmula de duplicação dos polígonos, por exemplo, no livro volume II do morgado, tem um exemplo que utiliza esta fórmula para calcular o lado do octógono regular: l8 = [tex3]\sqrt{2R(R - R\sqrt{R² - \frac{(ln)^2}{4}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2R(R - R\sqrt{R² - \frac{(ln)^2}{4}}}[/tex3]

A demonstração eu entendi perfeitamente, entendi que devemos aplicar quando quisermos calcular o lado do polígono conhecendo, por exemplo, um quadrilátero, mas não estou conseguindo chegar na fórmula do octógono regular... Desde já agradeço

edit: consegui chegar no resultado, mas eu gostaria de saber por qual valor substituir o ln

[petras]

Papiro8814
[tex3]\mathsf{
l_n=L_4 = R\sqrt2\\
l_{2n} =\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-l_n^2}} \\
l_8 =\sqrt{ 2R^2-R\sqrt{4R^2-(R\sqrt2)^2}} \implies \boxed{l_8 =R\sqrt{2-\sqrt2}}\\





}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
l_n=L_4 = R\sqrt2\\
l_{2n} =\sqrt{2R^2-R\sqrt{4R^2-l_n^2}} \\
l_8 =\sqrt{ 2R^2-R\sqrt{4R^2-(R\sqrt2)^2}} \implies \boxed{l_8 =R\sqrt{2-\sqrt2}}\\





}[/tex3]

[petras]

Demonstração da Fórmula:

l = comprimento do lado do polígono de n lados
L = comprimento do lado do polígono de 2n lados
r = raio do círculo circunscrito
a = apótema

[tex3]\mathsf{\triangle CPO: a^2+(\frac{l}{2})^2=r^2 \implies \boxed{a=\frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2}}\\
\triangle BCP: L^2=(r-a)^2+(\frac{l}{2})^2 \implies L^2 = (r - \frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2})^2+\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(4r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2-l^2) +\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(8r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2) =2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}\\
\therefore \boxed{L=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}}}








}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\triangle CPO: a^2+(\frac{l}{2})^2=r^2 \implies \boxed{a=\frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2}}\\
\triangle BCP: L^2=(r-a)^2+(\frac{l}{2})^2 \implies L^2 = (r - \frac{\sqrt {4r^2-l^2}} {2})^2+\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(4r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2-l^2) +\frac{l^2}{4}\\
L^2 = \frac{1}{4}(8r^2 - 4r\sqrt{4r^2-l^2}+4r^2) =2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}\\
\therefore \boxed{L=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-l^2}}}








}[/tex3]